Номер 18.20, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.20. Используя рисунок 18.14, докажите, что диаметр является наибольшей хордой окружности.

Рис. 18.14

Для доказательства рассмотрим произвольную хорду $AB$ окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Соединим центр $O$ с концами хорды $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle OAB$.

Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами данной окружности, следовательно, их длины равны: $OA = OB = r$.

Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше или равна сумме двух других его сторон. Применительно к стороне $AB$ треугольника $\triangle OAB$, это неравенство записывается как: $AB \le OA + OB$

Подставим в это неравенство длины сторон $OA$ и $OB$, равные радиусу $r$: $AB \le r + r$ $AB \le 2r$

Длина диаметра $d$ окружности по определению равна двум радиусам ($d = 2r$). Таким образом, мы доказали, что длина любой хорды $AB$ не может превышать длину диаметра.

Равенство $AB = 2r$ возможно только в одном случае: когда точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности $O$ и, по определению, является диаметром. Если же хорда $AB$ не проходит через центр, то точки $A$, $O$ и $B$ образуют невырожденный треугольник, и для него выполняется строгое неравенство $AB < 2r$.

Следовательно, диаметр является наибольшей из всех возможных хорд окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина любой хорды окружности не превышает ее диаметр. Равенство достигается только в том случае, когда хорда является диаметром, поэтому диаметр — это наибольшая хорда окружности.