Номер 18.13, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.13. На клетчатой бумаге изобразите центр $O$ окружности, проходящий через данные точки $A$, $B$, $C$, $D$ (рис. 18.10).

Рис. 18.10

Центр окружности, проходящей через заданные точки, является точкой, равноудаленной от всех этих точек. Геометрически эта точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к хордам, соединяющим данные точки. Для нахождения центра достаточно построить серединные перпендикуляры к двум любым хордам (например, AD и AB) и найти их точку пересечения.

Введем систему координат, приняв за единицу длины сторону одной клетки. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты $(0,0)$. Тогда координаты данных точек будут следующими:

$A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(3, 3)$, $D(1, 3)$.

Теперь найдем уравнения серединных перпендикуляров.

1. Серединный перпендикуляр к хорде AD.

Хорда AD соединяет точки $A(1, 1)$ и $D(1, 3)$. Это вертикальный отрезок. Его середина имеет координаты $M_{AD} = (\frac{1+1}{2}, \frac{1+3}{2}) = (1, 2)$. Серединный перпендикуляр к вертикальному отрезку является горизонтальной прямой, проходящей через его середину. Уравнение этой прямой: $y = 2$.

2. Серединный перпендикуляр к хорде AB.

Хорда AB соединяет точки $A(1, 1)$ и $B(4, 1)$. Это горизонтальный отрезок. Его середина имеет координаты $M_{AB} = (\frac{1+4}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2.5, 1)$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку является вертикальной прямой. Уравнение этой прямой: $x = 2.5$.

Точка пересечения этих двух перпендикуляров, которая должна быть центром окружности, имеет координаты $O(2.5, 2)$.

Теперь проверим, равноудалена ли точка $O(2.5, 2)$ от всех четырех точек A, B, C и D. Для этого вычислим квадраты расстояний от точки О до каждой из точек:

$OA^2 = (2.5 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 1.5^2 + 1^2 = 2.25 + 1 = 3.25$

$OB^2 = (2.5 - 4)^2 + (2 - 1)^2 = (-1.5)^2 + 1^2 = 2.25 + 1 = 3.25$

$OD^2 = (2.5 - 1)^2 + (2 - 3)^2 = 1.5^2 + (-1)^2 = 2.25 + 1 = 3.25$

$OC^2 = (2.5 - 3)^2 + (2 - 3)^2 = (-0.5)^2 + (-1)^2 = 0.25 + 1 = 1.25$

Как показывают расчеты, $OA^2 = OB^2 = OD^2 \neq OC^2$. Это означает, что точка $O(2.5, 2)$ не равноудалена от точки С. Следовательно, окружность, проходящая через точки A, B и D, не проходит через точку С. Это говорит о том, что в условии задачи, а именно в рисунке, допущена опечатка, так как для заданных на рисунке точек не существует единой окружности.

Наиболее вероятная опечатка заключается в положении точки С. Если бы точки образовывали вписанный четырехугольник, это была бы, например, равнобокая трапеция или прямоугольник. Если предположить, что фигура ABCD должна быть прямоугольником, то точка C должна иметь координаты $(4, 3)$.

Найдем центр окружности для исправленного набора точек: $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ и $D(1, 3)$.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, находится в точке пересечения его диагоналей, то есть в середине любой из диагоналей.

Найдем середину диагонали AC:

$O = (\frac{1+4}{2}, \frac{1+3}{2}) = (2.5, 2)$.

Этот же центр можно найти, как и ранее, пересечением серединных перпендикуляров к сторонам AB ($x=2.5$) и AD ($y=2$).

Таким образом, искомый центр окружности находится в точке с координатами $(2.5, 2)$. На клетчатой бумаге эта точка расположена посередине между вертикальными линиями сетки, проходящими через $x=2$ и $x=3$, и на горизонтальной линии сетки, проходящей через $y=2$.

Ответ: Центр O окружности находится в точке с координатами $(2.5, 2)$.