Номер 18.12, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.12. Сколько окружностей может проходить через две заданные точки?

Пусть даны две различные точки A и B. Центр любой окружности, проходящей через эти две точки, должен быть равноудален от них. Если обозначить центр окружности как O, то расстояние от центра до точки A должно быть равно расстоянию от центра до точки B. Это расстояние и будет радиусом окружности $R$. Таким образом, должно выполняться условие: $OA = OB = R$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B, — это прямая, называемая серединным перпендикуляром к отрезку AB. Эта прямая перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину.

Так как серединный перпендикуляр является прямой линией, он состоит из бесконечного множества точек. Любую из этих точек можно выбрать в качестве центра окружности, проходящей через A и B. Для каждого такого центра O, расположенного на серединном перпендикуляре, мы получим уникальную окружность с радиусом $R = OA = OB$.

На рисунке ниже показаны точки A и B, серединный перпендикуляр к отрезку AB (показан пунктирной линией) и три примера таких окружностей с центрами $O_1, O_2, O_3$, лежащими на этом перпендикуляре.

Поскольку существует бесконечно много точек на серединном перпендикуляре, которые можно выбрать в качестве центра, то и окружностей, проходящих через две заданные точки, можно провести бесконечное множество.
Ответ: через две заданные точки может проходить бесконечное множество окружностей.