Номер 18.10, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.10. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 2 см. Найдите наименьший возможный радиус окружности, проходящий через эти точки.

Пусть даны две точки $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 2 см. Окружность, проходящая через эти две точки, имеет центр $O$, который равноудален от точек $A$ и $B$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Обозначим отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$, как $AB$. Длина этого отрезка является хордой для любой окружности, проходящей через $A$ и $B$. По условию, длина хорды $AB = 2$ см.

Радиус окружности $R$ связан с длиной хорды $d$ и расстоянием $h$ от центра окружности до хорды по формуле, вытекающей из теоремы Пифагора: $R^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2$.

В нашем случае, $d = AB = 2$ см. Тогда $(\frac{d}{2})^2 = (\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$ см$^2$.

Формула для радиуса принимает вид: $R = \sqrt{h^2 + 1}$.

Чтобы найти наименьший возможный радиус $R$, нам нужно минимизировать значение выражения $\sqrt{h^2 + 1}$. Так как $h$ представляет собой расстояние, то $h \ge 0$, и, следовательно, $h^2 \ge 0$. Минимальное значение $h^2$ равно 0, что достигается при $h=0$.

Случай $h=0$ означает, что центр окружности лежит на самой хорде $AB$. Поскольку центр должен лежать на серединном перпендикуляре, он должен совпадать с серединой отрезка $AB$. В этом случае хорда $AB$ является диаметром окружности.

При $h=0$ радиус будет минимальным:

$R_{min} = \sqrt{0^2 + 1} = \sqrt{1} = 1$ см.

Таким образом, наименьший возможный радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$, равен половине расстояния между этими точками. Отрезок $AB$ в этом случае является диаметром окружности.

Ответ: 1 см.