Номер 18.16, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.16. Наибольшее и наименьшее расстояние от данной точки, расположенной вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 20 см. Найдите радиус данной окружности.

Пусть O — центр окружности, а $r$ — её радиус. Пусть P — данная точка, расположенная вне окружности.

Наибольшее и наименьшее расстояния от внешней точки P до точек окружности лежат на прямой, проходящей через точку P и центр окружности O. Эта прямая является секущей для окружности.

Обозначим точки пересечения этой прямой с окружностью как A и B. Пусть точка A — ближайшая к P, а точка B — самая удаленная от P. Таким образом, точка A находится между P и O, а центр O находится между P и B.

Согласно условию задачи, наименьшее расстояние от точки P до окружности равно длине отрезка $PA$, а наибольшее — длине отрезка $PB$.
Наименьшее расстояние: $PA = 20$ см.
Наибольшее расстояние: $PB = 50$ см.

Из рисунка видно, что расстояние $PA$ можно выразить через расстояние от точки P до центра O (обозначим его $PO$) и радиус $r$:
$PA = PO - OA = PO - r$

Аналогично для расстояния $PB$:
$PB = PO + OB = PO + r$

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($PO$ и $r$):
1) $PO - r = 20$
2) $PO + r = 50$

Для нахождения радиуса $r$ можно вычесть первое уравнение из второго:
$(PO + r) - (PO - r) = 50 - 20$
$PO + r - PO + r = 30$
$2r = 30$
$r = \frac{30}{2}$
$r = 15$

Радиус данной окружности равен 15 см.

Для проверки можно найти расстояние $PO$ от точки до центра, сложив два уравнения:
$(PO - r) + (PO + r) = 20 + 50$
$2 \cdot PO = 70$
$PO = 35$ см.
Подставим найденные значения $r=15$ и $PO=35$:
Наименьшее расстояние: $35 - 15 = 20$ см. (Верно)
Наибольшее расстояние: $35 + 15 = 50$ см. (Верно)

Ответ: 15 см.