Номер 18.22, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.22. Докажите, что хорды, одинаково удаленные от центра окружности, равны (рис. 18.15).

Рис. 18.15

Для доказательства данного утверждения воспользуемся рисунком, представленным в задаче.

Дано:

Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
$AB$ и $CD$ — хорды данной окружности.
Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Обозначим основания этих перпендикуляров как $H$ и $K$ соответственно, так что $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$.
По условию, хорды одинаково удалены от центра, следовательно, $OH = OK$.

Доказать:

$AB = CD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$.

2. Стороны $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OA = OC = R$. В треугольниках $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ эти стороны являются гипотенузами.

3. Стороны $OH$ и $OK$ являются катетами этих треугольников. По условию задачи, расстояния от центра до хорд равны, то есть $OH = OK$.

4. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по гипотенузе и катету ($OA = OC$ и $OH = OK$).

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катеты $AH$ и $CK$ равны: $AH = CK$.

6. Воспользуемся свойством хорды: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.

7. Поскольку $OH \perp AB$, точка $H$ является серединой хорды $AB$. Значит, $AB = 2 \cdot AH$.

8. Аналогично, поскольку $OK \perp CD$, точка $K$ является серединой хорды $CD$. Значит, $CD = 2 \cdot CK$.

9. Так как мы доказали, что $AH = CK$, то и $2 \cdot AH = 2 \cdot CK$.

10. Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Хорды, одинаково удаленные от центра окружности, равны.