Номер 19.2, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.2. Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку, расположенную:

а) внутри окружности;

б) вне окружности;

в) на окружности?

а) Рассмотрим случай, когда точка $A$ расположена внутри окружности с центром $O$ и радиусом $R$. Расстояние от центра окружности до точки $A$ меньше радиуса: $OA < R$. Касательная — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Любая прямая, проходящая через точку $A$, расположенную внутри окружности, будет пересекать окружность в двух точках, то есть будет являться секущей. Это происходит потому, что расстояние от центра $O$ до любой прямой, проходящей через $A$, будет меньше, чем $OA$, а следовательно, меньше радиуса $R$. Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки. Таким образом, провести касательную через точку, лежащую внутри окружности, невозможно.



Ответ: 0.

б) Рассмотрим случай, когда точка $A$ расположена вне окружности. Расстояние от центра окружности $O$ до точки $A$ больше радиуса: $OA > R$. Из точки, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные. Чтобы это доказать, можно рассмотреть прямоугольные треугольники, образованные центром окружности $O$, точкой касания $T$ и внешней точкой $A$. В треугольнике $OTA$ угол $\angle OTA$ прямой, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Гипотенузой является отрезок $OA$, а катетами — радиус $OT=R$ и отрезок касательной $AT$. По теореме Пифагора, длина отрезка касательной равна $AT = \sqrt{OA^2 - R^2}$. Существует две точки касания, $T_1$ и $T_2$, которые симметричны относительно прямой $OA$. Следовательно, из точки $A$ можно провести две касательные $AT_1$ и $AT_2$.



Ответ: 2.

в) Рассмотрим случай, когда точка $A$ расположена на окружности. Расстояние от центра окружности $O$ до точки $A$ равно радиусу: $OA = R$. Через любую точку, лежащую на окружности, можно провести только одну касательную. Эта касательная является прямой, перпендикулярной радиусу, проведенному в эту точку. Если бы через точку $A$ на окружности можно было провести еще одну касательную, то она либо имела бы с окружностью еще одну общую точку (что противоречит определению касательной, делая ее секущей), либо совпадала бы с первой. Таким образом, существует единственная касательная.



Ответ: 1.