Номер 19.8, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.8. На клетчатой бумаге из точки $A$ проведите касательные к данной окружности (рис. 19.6).

а)

б)

Рис. 19.6

Для построения касательных к окружности из точки, лежащей вне этой окружности, используется следующий геометрический метод:

1. Обозначить центр данной окружности (например, точкой О).
2. Соединить отрезком заданную точку (А) и центр окружности (О).
3. Найти середину отрезка ОА (например, точку М).
4. Построить вспомогательную окружность, для которой отрезок ОА является диаметром. Центром этой новой окружности будет точка М, а радиусом — отрезок МО.
5. Точки пересечения исходной и вспомогательной окружностей (Т₁ и Т₂) являются точками касания. Это справедливо, так как углы ∠ОТ₁А и ∠ОТ₂А опираются на диаметр ОА вспомогательной окружности и, следовательно, являются прямыми.
6. Прямые, проходящие через точку А и точки касания Т₁ и Т₂, и есть искомые касательные.

Применим этот метод к задачам.

а) На клетчатой бумаге определяем центр окружности O и соединяем его с точкой А. Находим середину М отрезка ОА и строим вспомогательную окружность с центром в М и радиусом, равным половине длины ОА. Точки пересечения этой вспомогательной окружности с исходной являются точками касания. Проводим через них и точку А две прямые — это и будут касательные.

На рисунке показан результат построения. Исходная окружность и точка А показаны красным, вспомогательные построения (центры, отрезок ОА, вспомогательная окружность) — серым, а искомые касательные — синим.

Ответ: Касательные построены на рисунке выше.

б) Решение полностью аналогично предыдущему пункту. Находим центр окружности O, строим отрезок ОА, находим его середину М. Затем строим вспомогательную окружность с диаметром ОА. Точки пересечения Т₁ и Т₂ двух окружностей являются точками касания. Проводим прямые АТ₁ и АТ₂.

На рисунке показан результат построения. Цветовые обозначения те же: красным — исходные данные, серым — вспомогательные построения, синим — искомые касательные.

Ответ: Касательные построены на рисунке выше.