Номер 19.11, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.11. Найдите длину отрезка $AB$ касательной (рис. 19.8). Стороны клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 19.8

а) Для нахождения длины отрезка касательной $AB$ воспользуемся теоремой Пифагора. Введем систему координат, совмещенную с сеткой, так, что левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты $(0, 0)$. Сторона каждой клетки равна 1.
Из рисунка определяем координаты центра окружности $O$, точки $A$ и радиус окружности $R$.
Центр окружности $O$ имеет координаты $(2, 2)$.
Точка $A$ имеет координаты $(4, 4)$.
Радиус окружности $R$ равен 2 (например, расстояние от центра $(2, 2)$ до точки на окружности $(4, 2)$).
Отрезок $AB$ является касательной к окружности в точке $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания ($OB$), перпендикулярен касательной ($AB$). Это означает, что треугольник $OAB$ является прямоугольным, где $\angle OBA = 90^\circ$.
Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике $OAB$ квадрат гипотенузы $OA$ равен сумме квадратов катетов $OB$ и $AB$: $OA^2 = OB^2 + AB^2$.
Отсюда можно выразить длину искомого отрезка $AB$: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2}$.
Длина катета $OB$ равна радиусу окружности: $OB = R = 2$.
Длину гипотенузы $OA$ найдем по формуле расстояния между двумя точками $O(2, 2)$ и $A(4, 4)$:
$OA = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \sqrt{(4-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.
Теперь подставим найденные значения длин $OA$ и $OB$ в формулу для $AB$:
$AB = \sqrt{(\sqrt{8})^2 - 2^2} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

б) Решение для этого случая аналогично предыдущему. Введем систему координат, совмещенную с сеткой.
Определяем необходимые параметры по рисунку:
Центр окружности $O$ находится в точке с координатами $(1, 2)$.
Точка $A$ имеет координаты $(5, 1)$.
Радиус окружности $R$ равен 1 (расстояние от центра $(1, 2)$ до точки на окружности $(1, 3)$).
Так как $AB$ — касательная к окружности в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$, и треугольник $OAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.
Применяем теорему Пифагора: $OA^2 = OB^2 + AB^2$.
Выражаем искомую длину $AB$: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2}$.
Длина катета $OB$ равна радиусу: $OB = R = 1$.
Найдем длину гипотенузы $OA$ как расстояние между точками $O(1, 2)$ и $A(5, 1)$:
$OA = \sqrt{(5-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
Теперь вычислим длину отрезка $AB$:
$AB = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - 1^2} = \sqrt{17-1} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.