Номер 19.15, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.15. Через точку M вне окружности проведены касательные MA и MB, и через точку C на окружности проведена касательная, пересекающая отрезки MA и MB в точках K и L соответственно (рис. 19.12). Докажите, что периметр треугольника KLM не зависит от положения точки C.

Рис. 19.12

Для доказательства того, что периметр треугольника KLM не зависит от положения точки C, рассмотрим его составляющие.

Периметр треугольника $KLM$, обозначим его как $P_{KLM}$, равен сумме длин его сторон: $P_{KLM} = MK + ML + KL$

Сторона $KL$ является отрезком касательной к окружности в точке $C$. Этот отрезок можно представить как сумму двух отрезков: $KL = KC + CL$.

Подставим это выражение в формулу периметра: $P_{KLM} = MK + ML + KC + CL$

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки. Свойство гласит: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Применим это свойство для точек $K$ и $L$:

• Точка $K$ лежит на пересечении двух касательных к окружности: прямой $MA$ (касание в точке $A$) и прямой $KL$ (касание в точке $C$). Следовательно, длины отрезков касательных от точки $K$ до точек касания равны: $KA = KC$.
• Аналогично, точка $L$ лежит на пересечении двух касательных: прямой $MB$ (касание в точке $B$) и прямой $KL$ (касание в точке $C$). Следовательно, $LB = LC$.

Теперь заменим в формуле периметра отрезки $KC$ и $CL$ на равные им отрезки $KA$ и $LB$ соответственно: $P_{KLM} = MK + ML + KA + LB$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{KLM} = (MK + KA) + (ML + LB)$

Из рисунка видно, что точка $K$ лежит на отрезке $MA$, поэтому сумма $MK + KA$ равна длине всего отрезка $MA$. Аналогично, точка $L$ лежит на отрезке $MB$, поэтому $ML + LB = MB$.

Таким образом, периметр треугольника $KLM$ равен: $P_{KLM} = MA + MB$

По условию задачи, точка $M$ и окружность зафиксированы. Это означает, что касательные $MA$ и $MB$, проведенные из точки $M$ к окружности, имеют постоянную длину. Длина этих отрезков зависит только от положения точки $M$ и радиуса окружности, но никак не от положения точки $C$ на дуге $AB$.

Следовательно, сумма $MA + MB$ является постоянной величиной. Это доказывает, что периметр треугольника $KLM$ не зависит от положения точки $C$ на окружности.

Ответ: Периметр треугольника $KLM$ равен сумме длин касательных $MA$ и $MB$, проведенных из точки $M$. Так как длины $MA$ и $MB$ являются постоянными для данной точки $M$ и данной окружности, то и периметр треугольника $KLM$ является постоянной величиной, не зависящей от выбора точки $C$ на окружности.