Номер 20.2, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.2. Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см от центра окружности. Найдите радиус окружности с центром в точке А и касающейся данной окружности:

а) внешним образом;

б) внутренним образом.

Пусть $O$ — центр данной окружности, а $R$ — ее радиус. По условию, $R = 3$ см.

Пусть $A$ — центр искомой окружности, а $r$ — ее радиус.

Расстояние между центрами окружностей $d = OA = 5$ см.

а) внешним образом

При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Это можно представить наглядно:

Математически это записывается как $d = R + r$.

Подставим известные значения в формулу:

$5 = 3 + r$

Отсюда находим искомый радиус $r$:

$r = 5 - 3 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

б) внутренним образом

При внутреннем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов. Так как точка $A$ (центр искомой окружности) находится на расстоянии $d=5$ см от центра $O$, что больше радиуса данной окружности $R=3$ см, то точка $A$ лежит вне данной окружности. Следовательно, для внутреннего касания данная окружность должна находиться внутри искомой. Это означает, что радиус искомой окружности $r$ должен быть больше радиуса данной окружности $R$.

Условие касания записывается как $d = |R - r|$. Поскольку $r > R$, то $|R - r| = r - R$.

Получаем уравнение: $d = r - R$.

Подставим известные значения:

$5 = r - 3$

Отсюда находим искомый радиус $r$:

$r = 5 + 3 = 8$ см.

Ответ: 8 см.