Номер 19.13, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.13. Докажите, что отрезки $AB$ и $CD$ общих пересекающихся внешних касательных к двум окружностям (рис. 19.10) равны.

Рис. 19.10

Пусть две внешние общие касательные к двум окружностям пересекаются в точке P. Пусть первая касательная касается большей окружности в точке A и меньшей окружности в точке B. Пусть вторая касательная касается большей окружности в точке C и меньшей окружности в точке D, как показано на рисунке. Требуется доказать, что длины отрезков AB и CD равны.

Рассмотрим касательные, проведенные из точки P к большей окружности. Точками касания являются A и C. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной внешней точки, длины отрезков от этой точки до точек касания равны. Таким образом, мы получаем равенство: $PA = PC$.

Теперь рассмотрим касательные, проведенные из той же точки P к меньшей окружности. Точками касания являются B и D. По тому же свойству, длины этих отрезков касательных также равны: $PB = PD$.

Длина отрезка AB, который является частью касательной между точками касания на разных окружностях, равна разности длин отрезков PA и PB (поскольку точка B лежит на отрезке PA).
$AB = PA - PB$

Аналогично, длина отрезка CD на второй касательной равна разности длин отрезков PC и PD (поскольку точка D лежит на отрезке PC).
$CD = PC - PD$

Используя установленные ранее равенства $PA = PC$ и $PB = PD$, мы можем подставить их в выражение для длины отрезка CD: $CD = PC - PD = PA - PB$

Сравнивая полученные выражения для длин отрезков AB и CD, мы видим, что они равны:
$AB = PA - PB$
$CD = PA - PB$
Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков AB и CD доказано.