Номер 19.12, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.12. Докажите, что отрезки $AB$ и $CD$ общих внутренних касательных к двум окружностям (рис. 19.9) равны.

Пусть две общие внутренние касательные к двум окружностям пересекаются в точке $P$. Пусть одна касательная касается первой окружности в точке $A$ и второй окружности в точке $B$, а другая касательная касается первой окружности в точке $C$ и второй окружности в точке $D$. Таким образом, нам нужно доказать, что длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $CD$.

Рассмотрим касательные, проведенные из точки $P$ к первой (левой) окружности. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков этих касательных от точки пересечения до точек касания равны. Следовательно: $PA = PC$.

Аналогично, рассмотрим касательные, проведенные из той же точки $P$ ко второй (правой) окружности. Длины этих отрезков также равны: $PB = PD$.

Длина отрезка общей касательной $AB$ равна сумме длин отрезков $PA$ и $PB$, так как точка $P$ лежит на отрезке $AB$. $AB = PA + PB$.

Точно так же, длина отрезка общей касательной $CD$ равна сумме длин отрезков $PC$ и $PD$. $CD = PC + PD$.

Теперь мы можем сравнить длины отрезков $AB$ и $CD$. Используя установленные выше равенства, мы можем заменить $PC$ на $PA$ и $PD$ на $PB$ в выражении для $CD$: $CD = PC + PD = PA + PB$.

Так как $AB = PA + PB$ и $CD = PA + PB$, то отсюда следует, что $AB = CD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $AB$ и $CD$ доказано на основе свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки. Длина каждого из этих отрезков равна сумме длин отрезков касательных от точки их пересечения до точек касания на каждой из окружностей.