Вопросы, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как могут быть расположены относительно друг друга две окружности?

2. Сколько общих точек могут иметь две окружности?

3. Какие две окружности называются:
а) касающимися;
б) пересекающимися?

4. Какие окружности называются концентрическими?

5. В каком случае одна окружность лежит:
а) во внешней области другой;
б) во внутренней области другой?

6. В каком случае две окружности касаются:
а) внешним образом;
б) внутренним образом?

7. В каком случае две окружности пересекаются?

1. Две окружности на плоскости могут быть расположены друг относительно друга следующими способами:
1. Окружности не имеют общих точек. Это возможно в двух случаях:

• Одна окружность находится полностью вне другой.
• Одна окружность находится полностью внутри другой. Частным случаем является расположение, когда центры окружностей совпадают (концентрические окружности).

• Внешним, когда окружности находятся по разные стороны от общей касательной.
• Внутренним, когда окружности находятся по одну сторону от общей касательной.

2. Две различные окружности могут иметь 0, 1 или 2 общие точки.

• 0 общих точек: если окружности не пересекаются и не касаются.
• 1 общая точка: если окружности касаются (внешне или внутренне).
• 2 общие точки: если окружности пересекаются.

3.а) касающимися называются две окружности, которые имеют ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.
б) пересекающимися называются две окружности, которые имеют ровно две общие точки. Эти точки называются точками пересечения.
Ответ: Касающиеся окружности имеют одну общую точку, а пересекающиеся — две.

4. Концентрическими называются окружности, которые лежат в одной плоскости, имеют общий центр, но разные радиусы.

Ответ: Окружности с общим центром и разными радиусами.

5. Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, радиусами $R$ и $r$ ($R \ge r$), и расстоянием между центрами $d = |O_1O_2|$.
а) во внешней области другой: Одна окружность лежит во внешней области другой, если они не имеют общих точек и находятся снаружи друг от друга. Это происходит, когда расстояние между их центрами больше суммы их радиусов: $d > R + r$.

б) во внутренней области другой: Одна окружность (с радиусом $r$) лежит во внутренней области другой (с радиусом $R$), если они не имеют общих точек и одна находится внутри другой. Это происходит, когда расстояние между их центрами меньше разности их радиусов: $d < R - r$.

Ответ: а) Когда расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > R + r$); б) когда расстояние между центрами меньше разности радиусов ($d < R - r$).

6. Используем те же обозначения, что и в пункте 5 ($d$ — расстояние между центрами, $R$ и $r$ — радиусы).
а) внешним образом: Две окружности касаются внешним образом, если они имеют одну общую точку и лежат вне друг друга. Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R + r$.

б) внутренним образом: Две окружности касаются внутренним образом, если они имеют одну общую точку и одна окружность лежит внутри другой. Это происходит, когда расстояние между центрами равно разности их радиусов: $d = R - r$ (при $R > r$).

Ответ: а) Когда расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R + r$); б) когда расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = R - r$).

7. Две окружности пересекаются (имеют две общие точки), если расстояние $d$ между их центрами больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов. Это условие известно как неравенство треугольника для треугольника с вершинами в центрах окружностей и одной из точек пересечения. Формула: $|R - r| < d < R + r$.

Ответ: Когда расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы ($|R-r|