Страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как могут быть расположены относительно друг друга две окружности?

2. Сколько общих точек могут иметь две окружности?

3. Какие две окружности называются:
а) касающимися;
б) пересекающимися?

4. Какие окружности называются концентрическими?

5. В каком случае одна окружность лежит:
а) во внешней области другой;
б) во внутренней области другой?

6. В каком случае две окружности касаются:
а) внешним образом;
б) внутренним образом?

7. В каком случае две окружности пересекаются?

1. Две окружности на плоскости могут быть расположены друг относительно друга следующими способами:
1. Окружности не имеют общих точек. Это возможно в двух случаях:

• Одна окружность находится полностью вне другой.
• Одна окружность находится полностью внутри другой. Частным случаем является расположение, когда центры окружностей совпадают (концентрические окружности).

• Внешним, когда окружности находятся по разные стороны от общей касательной.
• Внутренним, когда окружности находятся по одну сторону от общей касательной.

2. Две различные окружности могут иметь 0, 1 или 2 общие точки.

• 0 общих точек: если окружности не пересекаются и не касаются.
• 1 общая точка: если окружности касаются (внешне или внутренне).
• 2 общие точки: если окружности пересекаются.

3.а) касающимися называются две окружности, которые имеют ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.
б) пересекающимися называются две окружности, которые имеют ровно две общие точки. Эти точки называются точками пересечения.
Ответ: Касающиеся окружности имеют одну общую точку, а пересекающиеся — две.

4. Концентрическими называются окружности, которые лежат в одной плоскости, имеют общий центр, но разные радиусы.

Ответ: Окружности с общим центром и разными радиусами.

5. Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, радиусами $R$ и $r$ ($R \ge r$), и расстоянием между центрами $d = |O_1O_2|$.
а) во внешней области другой: Одна окружность лежит во внешней области другой, если они не имеют общих точек и находятся снаружи друг от друга. Это происходит, когда расстояние между их центрами больше суммы их радиусов: $d > R + r$.

б) во внутренней области другой: Одна окружность (с радиусом $r$) лежит во внутренней области другой (с радиусом $R$), если они не имеют общих точек и одна находится внутри другой. Это происходит, когда расстояние между их центрами меньше разности их радиусов: $d < R - r$.

Ответ: а) Когда расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > R + r$); б) когда расстояние между центрами меньше разности радиусов ($d < R - r$).

6. Используем те же обозначения, что и в пункте 5 ($d$ — расстояние между центрами, $R$ и $r$ — радиусы).
а) внешним образом: Две окружности касаются внешним образом, если они имеют одну общую точку и лежат вне друг друга. Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R + r$.

б) внутренним образом: Две окружности касаются внутренним образом, если они имеют одну общую точку и одна окружность лежит внутри другой. Это происходит, когда расстояние между центрами равно разности их радиусов: $d = R - r$ (при $R > r$).

Ответ: а) Когда расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R + r$); б) когда расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = R - r$).

7. Две окружности пересекаются (имеют две общие точки), если расстояние $d$ между их центрами больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов. Это условие известно как неравенство треугольника для треугольника с вершинами в центрах окружностей и одной из точек пересечения. Формула: $|R - r| < d < R + r$.

Ответ: Когда расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы ($|R-r|

20.1. Нарисуйте две окружности:а) не имеющие общих точек;б) концентрические;в) касающиеся внешним образом;г) касающиеся внутренним образом;д) пересекающиеся.

а) не имеющие общих точек

Две окружности не имеют общих точек в двух случаях. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, $R_1$ и $R_2$ — их радиусы, а $d$ — расстояние между центрами ($d = |O_1O_2|$).

1. Одна окружность находится вне другой. Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы радиусов: $d > R_1 + R_2$.

2. Одна окружность находится внутри другой (при этом они не являются концентрическими). Это происходит, когда расстояние между центрами меньше модуля разности радиусов: $d < |R_1 - R_2|$.

Ответ: На рисунках выше показаны два возможных случая расположения окружностей, не имеющих общих точек.

б) концентрические

Концентрические окружности — это окружности, имеющие общий центр, но разные радиусы. Расстояние между их центрами $d$ равно нулю.

Ответ: На рисунке изображены концентрические окружности.

в) касающиеся внешним образом

Две окружности касаются внешним образом, если они имеют ровно одну общую точку, и при этом одна окружность находится вне другой. Расстояние $d$ между их центрами равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

Ответ: На рисунке изображены окружности, касающиеся внешним образом.

г) касающиеся внутренним образом

Две окружности касаются внутренним образом, если они имеют ровно одну общую точку, и при этом одна окружность находится внутри другой. Расстояние $d$ между их центрами равно модулю разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$.

Ответ: На рисунке изображены окружности, касающиеся внутренним образом.

д) пересекающиеся

Две окружности пересекаются, если они имеют две общие точки. Это происходит, когда расстояние $d$ между их центрами больше модуля разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Ответ: На рисунке изображены пересекающиеся окружности.

20.2. Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см от центра окружности. Найдите радиус окружности с центром в точке А и касающейся данной окружности:

а) внешним образом;

б) внутренним образом.

Пусть $O$ — центр данной окружности, а $R$ — ее радиус. По условию, $R = 3$ см.

Пусть $A$ — центр искомой окружности, а $r$ — ее радиус.

Расстояние между центрами окружностей $d = OA = 5$ см.

а) внешним образом

При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Это можно представить наглядно:

Математически это записывается как $d = R + r$.

Подставим известные значения в формулу:

$5 = 3 + r$

Отсюда находим искомый радиус $r$:

$r = 5 - 3 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

б) внутренним образом

При внутреннем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов. Так как точка $A$ (центр искомой окружности) находится на расстоянии $d=5$ см от центра $O$, что больше радиуса данной окружности $R=3$ см, то точка $A$ лежит вне данной окружности. Следовательно, для внутреннего касания данная окружность должна находиться внутри искомой. Это означает, что радиус искомой окружности $r$ должен быть больше радиуса данной окружности $R$.

Условие касания записывается как $d = |R - r|$. Поскольку $r > R$, то $|R - r| = r - R$.

Получаем уравнение: $d = r - R$.

Подставим известные значения:

$5 = r - 3$

Отсюда находим искомый радиус $r$:

$r = 5 + 3 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

20.3. Расстояние между центрами двух окружностей равно 5 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны:

а) 2 см и 3 см;

б) 2 см и 2 см?

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо сравнить расстояние между их центрами ($d$) с суммой ($r_1 + r_2$) и разностью ($|r_1 - r_2|$) их радиусов.

Дано: расстояние между центрами окружностей $d = 5$ см.

а) Рассматриваем случай, когда радиусы окружностей равны $r_1 = 2$ см и $r_2 = 3$ см.

Найдем сумму радиусов: $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$ см.
Поскольку расстояние между центрами $d = 5$ см равно сумме радиусов $r_1 + r_2 = 5$ см, то есть выполняется условие $d = r_1 + r_2$, окружности касаются внешним образом. Они имеют одну общую точку.

Ответ: окружности касаются внешним образом.

б) Рассматриваем случай, когда радиусы окружностей равны $r_1 = 2$ см и $r_2 = 2$ см.

Найдем сумму радиусов: $r_1 + r_2 = 2 + 2 = 4$ см.
Поскольку расстояние между центрами $d = 5$ см больше, чем сумма радиусов $r_1 + r_2 = 4$ см (то есть выполняется условие $d > r_1 + r_2$), окружности не пересекаются и расположены одна вне другой. У них нет общих точек.

Ответ: окружности не пересекаются и лежат одна вне другой.

20.4. Расстояние между центрами двух окружностей равно 2 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны:

а) 3 см и 5 см;

б) 2 см и 5 см?

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо сравнить расстояние между их центрами ($d$) с суммой ($R_1 + R_2$) и разностью ($|R_1 - R_2|$) их радиусов.По условию, расстояние между центрами $d = 2$ см.

а) Радиусы окружностей равны $R_1 = 5$ см и $R_2 = 3$ см.

1. Найдём сумму радиусов:
$R_1 + R_2 = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

2. Найдём разность радиусов:
$|R_1 - R_2| = |5 \text{ см} - 3 \text{ см}| = 2 \text{ см}$.

Сравним расстояние между центрами $d$ с полученными значениями. Мы видим, что расстояние между центрами равно разности радиусов: $d = |R_1 - R_2|$, так как $2 \text{ см} = 2 \text{ см}$.Такое соотношение означает, что окружности касаются внутренним образом. Это значит, что у них есть одна общая точка, и меньшая окружность находится внутри большей.

Ответ: окружности касаются внутренним образом.

б) Радиусы окружностей равны $R_1 = 5$ см и $R_2 = 2$ см.

1. Найдём сумму радиусов:
$R_1 + R_2 = 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

2. Найдём разность радиусов:
$|R_1 - R_2| = |5 \text{ см} - 2 \text{ см}| = 3 \text{ см}$.

Сравним расстояние между центрами $d$ с полученными значениями. Мы видим, что расстояние между центрами меньше разности радиусов: $d < |R_1 - R_2|$, так как $2 \text{ см} < 3 \text{ см}$.Это означает, что одна окружность полностью расположена внутри другой, и они не имеют общих точек (не касаются и не пересекаются).

Ответ: одна окружность расположена внутри другой, и они не пересекаются.

20.5. Чему равно расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 4 см и 6 см, если окружности:

касаются внешним образом?

касаются внутренним образом?

а) Пусть радиусы окружностей равны $R_1 = 6$ см и $R_2 = 4$ см. Когда две окружности касаются внешним образом, их центры и точка касания лежат на одной прямой. Расстояние между центрами в этом случае равно сумме их радиусов.

Расстояние $d$ между центрами вычисляется по формуле:
$d = R_1 + R_2$
$d = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$
Ответ: 10 см.

б) Пусть радиусы окружностей равны $R_1 = 6$ см (большая окружность) и $R_2 = 4$ см (меньшая окружность). Когда две окружности касаются внутренним образом, их центры и точка касания также лежат на одной прямой. Расстояние между центрами в этом случае равно разности их радиусов.

Расстояние $d$ между центрами вычисляется по формуле:
$d = |R_1 - R_2|$
$d = 6 \text{ см} - 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$
Ответ: 2 см.

20.6. На рисунке 20.8 изображена фигура, называемая кольцом. Сформулируйте определение этой фигуры.

Рис. 20.8

Для того чтобы сформулировать определение фигуры, изображенной на рисунке и называемой кольцом, необходимо проанализировать ее геометрические свойства.

Фигура представляет собой область на плоскости, которая находится между двумя окружностями.

Ключевыми особенностями этих окружностей являются:

1. Общий центр. Обе окружности имеют один и тот же центр. Такие окружности называются концентрическими.

2. Разные радиусы. Одна окружность (внешняя) имеет больший радиус, а другая (внутренняя) — меньший.

Исходя из этих наблюдений, можно дать строгое определение кольца.

Пусть $O$ — общий центр двух окружностей, $R$ — радиус большей (внешней) окружности, а $r$ — радиус меньшей (внутренней) окружности, причем $R > r$. Тогда кольцо — это множество всех точек $M$ на плоскости, расстояние от которых до центра $O$ удовлетворяет двойному неравенству: $r \le OM \le R$.

Таким образом, определение можно сформулировать следующим образом:

Ответ: Кольцо — это геометрическая фигура, представляющая собой часть плоскости, ограниченную двумя концентрическими окружностями (окружностями с общим центром) разных радиусов.

20.7. На рисунке 20.9 изображена фигура, называемая сектором. Сформулируйте определение этой фигуры.

Рис. 20.9

На рисунке показана часть круга с центром в точке $O$, которая ограничена двумя радиусами $OA$ и $OB$ и дугой окружности, заключенной между точками $A$ и $B$. Эта фигура и называется круговым сектором.

Исходя из этого, можно сформулировать следующее определение:

Круговой сектор — это часть круга, которая ограничена его дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Угол, который образуют эти два радиуса ($ \angle AOB $), называется центральным углом сектора. Дуга, которая ограничивает сектор (дуга $AB$), называется дугой сектора.

Ответ: Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

20.8. Расстояние между центрами двух окружностей равно $d$ и больше суммы их радиусов $R_1$ и $R_2$. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Пусть центры двух окружностей — точки $O_1$ и $O_2$, а их радиусы — $R_1$ и $R_2$ соответственно. Расстояние между центрами $O_1O_2 = d$. По условию $d > R_1 + R_2$, что означает, что окружности не пересекаются и одна не лежит внутри другой. Требуется найти наименьшее и наибольшее расстояние между точкой $A$, лежащей на первой окружности, и точкой $B$, лежащей на второй окружности.

Рассмотрим расположение окружностей и точек, в которых достигаются искомые расстояния. Эти точки лежат на прямой, проходящей через центры окружностей $O_1$ и $O_2$.

Наименьшее расстояние

Наименьшее расстояние между двумя окружностями достигается между точками $A$ и $B$, которые лежат на отрезке, соединяющем центры $O_1$ и $O_2$. Эти точки являются ближайшими друг к другу точками на своих окружностях. Расстояние между центрами $O_1O_2$ равно $d$. Этот отрезок можно представить как сумму трех отрезков: $O_1A$, $AB$ и $BO_2$. $O_1O_2 = O_1A + AB + BO_2$. Длина отрезка $O_1A$ равна радиусу первой окружности $R_1$. Длина отрезка $BO_2$ равна радиусу второй окружности $R_2$. Подставим эти значения в равенство: $d = R_1 + AB + R_2$. Отсюда можем выразить искомое наименьшее расстояние $AB$: $AB = d - R_1 - R_2$.
Ответ: Наименьшее расстояние равно $d - R_1 - R_2$.

Наибольшее расстояние

Наибольшее расстояние между точками окружностей также достигается на прямой, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$. Эти точки, обозначенные на рисунке как $C$ и $D$, являются самыми удаленными друг от друга. Точка $C$ лежит на первой окружности, а точка $D$ — на второй. При этом центры $O_1$ и $O_2$ находятся между точками $C$ и $D$. Расстояние $CD$ равно сумме длин трех отрезков: $CO_1$, $O_1O_2$ и $O_2D$. $CD = CO_1 + O_1O_2 + O_2D$. Длина отрезка $CO_1$ равна радиусу первой окружности $R_1$. Длина отрезка $O_1O_2$ — это расстояние между центрами $d$. Длина отрезка $O_2D$ равна радиусу второй окружности $R_2$. Таким образом, искомое наибольшее расстояние $CD$ равно: $CD = R_1 + d + R_2$.
Ответ: Наибольшее расстояние равно $d + R_1 + R_2$.