Страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.9. Расстояние между центрами двух окружностей равно $d$ и меньше разности $R_1 - R_2$ их радиусов ($R_1 > R_2$). Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы, причем по условию $R_1 > R_2$. Расстояние между центрами равно $d$, и выполняется условие $d < R_1 - R_2$.

Условие $d < R_1 - R_2$ означает, что окружность меньшего радиуса $R_2$ полностью находится внутри окружности большего радиуса $R_1$, и они не соприкасаются. Чтобы в этом убедиться, найдем максимальное расстояние от центра $O_1$ до любой точки на второй окружности. Это расстояние равно $d + R_2$. Условие $d < R_1 - R_2$ эквивалентно $d + R_2 < R_1$, что подтверждает, что каждая точка второй окружности находится внутри первой.

Рассмотрим произвольную точку $A$ на первой окружности (с центром $O_1$) и произвольную точку $B$ на второй окружности (с центром $O_2$). Экстремальные расстояния (наименьшее и наибольшее) достигаются для точек, лежащих на прямой, проходящей через центры окружностей $O_1$ и $O_2$.

Наименьшее расстояние

Наименьшее расстояние будет между точками, лежащими на линии центров. Так как вторая окружность находится внутри первой, ближайшие друг к другу точки ($A_{min}$ и $B_{min}$) будут расположены на линии центров с одной стороны от центра $O_1$.

Пусть $A_{min}$ — точка на большой окружности, а $B_{min}$ — точка на малой окружности, обе лежат на луче, выходящем из $O_1$ и проходящем через $O_2$. Расстояние от центра $O_1$ до точки $A_{min}$ равно $O_1A_{min} = R_1$. Расстояние от центра $O_1$ до точки $B_{min}$ равно $O_1B_{min} = O_1O_2 + O_2B_{min} = d + R_2$.

Поскольку обе точки лежат на одном луче из $O_1$, расстояние между ними равно разности их расстояний от $O_1$: $A_{min}B_{min} = |O_1A_{min} - O_1B_{min}| = |R_1 - (d + R_2)|$.

Из условия задачи $d < R_1 - R_2$, что эквивалентно $d + R_2 < R_1$. Поэтому выражение под знаком модуля положительно. Таким образом, наименьшее расстояние равно $R_1 - (d + R_2) = R_1 - d - R_2$.

Ответ: $R_1 - R_2 - d$.

Наибольшее расстояние

Наибольшее расстояние между точками двух окружностей будет между точками $A_{max}$ и $B_{max}$, которые лежат на линии центров и расположены так, чтобы максимизировать длину отрезка между ними. Это происходит, когда точки находятся на линии центров по разные стороны от отрезка $O_1O_2$.

Пусть точка $A_{max}$ лежит на первой окружности, а $B_{max}$ — на второй. Тогда расстояние $A_{max}B_{max}$ равно сумме расстояния от $A_{max}$ до $O_1$, расстояния между центрами $O_1O_2$ и расстояния от $O_2$ до $B_{max}$: $A_{max}B_{max} = A_{max}O_1 + O_1O_2 + O_2B_{max}$.

Поскольку $A_{max}$ лежит на первой окружности, $A_{max}O_1 = R_1$. Поскольку $B_{max}$ лежит на второй окружности, $O_2B_{max} = R_2$. Расстояние между центрами равно $d$. Следовательно, наибольшее расстояние равно $R_1 + d + R_2$.

Ответ: $R_1 + R_2 + d$.

20.10. Сколько жемчужин потребуется для изготовления бус длиной 50 см, если радиус одной жемчужины равен 5 мм?

Чтобы определить, сколько жемчужин потребуется, нужно общую длину бус разделить на длину, которую занимает одна жемчужина. Поскольку жемчужины нанизываются вплотную друг к другу, длина, занимаемая одной жемчужиной, равна её диаметру.

1. Найдём диаметр одной жемчужины.
Радиус жемчужины по условию равен $r = 5$ мм. Диаметр $d$ в два раза больше радиуса:
$d = 2 \times r = 2 \times 5 \text{ мм} = 10 \text{ мм}$.

2. Приведём все величины к единой единице измерения.
Длина бус дана в сантиметрах: $L = 50$ см. Диаметр жемчужины мы рассчитали в миллиметрах. Переведём длину бус в миллиметры, зная, что в 1 сантиметре 10 миллиметров:
$L = 50 \text{ см} = 50 \times 10 \text{ мм} = 500 \text{ мм}$.

3. Рассчитаем количество жемчужин.
Разделим общую длину бус на диаметр одной жемчужины, чтобы найти их требуемое количество $N$:
$N = \frac{\text{Общая длина бус}}{\text{Диаметр одной жемчужины}} = \frac{L}{d} = \frac{500 \text{ мм}}{10 \text{ мм}} = 50$.

Таким образом, для изготовления бус потребуется 50 жемчужин.

Ответ: 50 жемчужин.

20.11. Две окружности с центрами в точках $O_1$, $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что $\angle O_1 A O_2 = \angle O_1 B O_2$ (рис. 20.10).

Рис. 20.10

Рассмотрим треугольники $ \Delta O_1AO_2 $ и $ \Delta O_1BO_2 $.

Сравним стороны этих треугольников:

1. Стороны $O_1A$ и $O_1B$ равны между собой, так как обе являются радиусами первой окружности с центром в точке $O_1$. Таким образом, $O_1A = O_1B$.

2. Стороны $O_2A$ и $O_2B$ также равны, поскольку обе являются радиусами второй окружности с центром в точке $O_2$. Следовательно, $O_2A = O_2B$.

3. Сторона $O_1O_2$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $ \Delta O_1AO_2 $ равен треугольнику $ \Delta O_1BO_2 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. Угол $ \angle O_1AO_2 $ в треугольнике $ \Delta O_1AO_2 $ и угол $ \angle O_1BO_2 $ в треугольнике $ \Delta O_1BO_2 $ являются соответствующими, так как они лежат напротив общей стороны $O_1O_2$.

Следовательно, $ \angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

20.12. Две окружности с центрами в точках $O_1, O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ (рис. 20.11). Докажите, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна прямой $AB$.

Рис. 20.11

Дано: две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$.

Требуется доказать: $O_1O_2 \perp AB$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ΔAO_1B$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O_1$, отрезки $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $O_1A = O_1B$. Это означает, что точка $O_1$ равноудалена от точек $A$ и $B$, а треугольник $ΔAO_1B$ является равнобедренным.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ΔAO_2B$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O_2$, поэтому $O_2A = O_2B$ как радиусы второй окружности. Следовательно, точка $O_2$ также равноудалена от точек $A$ и $B$, а треугольник $ΔAO_2B$ является равнобедренным.

3. Рассмотрим четырехугольник $O_1AO_2B$. У него смежные стороны попарно равны: $O_1A = O_1B$ и $O_2A = O_2B$. Такой четырехугольник является дельтоидом. Отрезки $O_1O_2$ и $AB$ — его диагонали.

4. Рассмотрим треугольники $ΔO_1AO_2$ и $ΔO_1BO_2$.

• $O_1A = O_1B$ (как радиусы первой окружности).
• $O_2A = O_2B$ (как радиусы второй окружности).
• $O_1O_2$ — общая сторона.

Следовательно, $ΔO_1AO_2 \cong ΔO_1BO_2$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$. Это означает, что луч $O_1O_2$ является биссектрисой угла $\angle AO_1B$.

6. В равнобедренном треугольнике $ΔAO_1B$ ($O_1A = O_1B$) биссектриса, проведенная из вершины $O_1$ к основанию $AB$, является также высотой и медианой.

7. Поскольку отрезок, лежащий на прямой $O_1O_2$, является высотой в треугольнике $ΔAO_1B$, он перпендикулярен основанию $AB$. Таким образом, прямая $O_1O_2$ перпендикулярна прямой $AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.