Номер 20.9, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.9. Расстояние между центрами двух окружностей равно $d$ и меньше разности $R_1 - R_2$ их радиусов ($R_1 > R_2$). Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы, причем по условию $R_1 > R_2$. Расстояние между центрами равно $d$, и выполняется условие $d < R_1 - R_2$.

Условие $d < R_1 - R_2$ означает, что окружность меньшего радиуса $R_2$ полностью находится внутри окружности большего радиуса $R_1$, и они не соприкасаются. Чтобы в этом убедиться, найдем максимальное расстояние от центра $O_1$ до любой точки на второй окружности. Это расстояние равно $d + R_2$. Условие $d < R_1 - R_2$ эквивалентно $d + R_2 < R_1$, что подтверждает, что каждая точка второй окружности находится внутри первой.

Рассмотрим произвольную точку $A$ на первой окружности (с центром $O_1$) и произвольную точку $B$ на второй окружности (с центром $O_2$). Экстремальные расстояния (наименьшее и наибольшее) достигаются для точек, лежащих на прямой, проходящей через центры окружностей $O_1$ и $O_2$.

Наименьшее расстояние

Наименьшее расстояние будет между точками, лежащими на линии центров. Так как вторая окружность находится внутри первой, ближайшие друг к другу точки ($A_{min}$ и $B_{min}$) будут расположены на линии центров с одной стороны от центра $O_1$.

Пусть $A_{min}$ — точка на большой окружности, а $B_{min}$ — точка на малой окружности, обе лежат на луче, выходящем из $O_1$ и проходящем через $O_2$. Расстояние от центра $O_1$ до точки $A_{min}$ равно $O_1A_{min} = R_1$. Расстояние от центра $O_1$ до точки $B_{min}$ равно $O_1B_{min} = O_1O_2 + O_2B_{min} = d + R_2$.

Поскольку обе точки лежат на одном луче из $O_1$, расстояние между ними равно разности их расстояний от $O_1$: $A_{min}B_{min} = |O_1A_{min} - O_1B_{min}| = |R_1 - (d + R_2)|$.

Из условия задачи $d < R_1 - R_2$, что эквивалентно $d + R_2 < R_1$. Поэтому выражение под знаком модуля положительно. Таким образом, наименьшее расстояние равно $R_1 - (d + R_2) = R_1 - d - R_2$.

Ответ: $R_1 - R_2 - d$.

Наибольшее расстояние

Наибольшее расстояние между точками двух окружностей будет между точками $A_{max}$ и $B_{max}$, которые лежат на линии центров и расположены так, чтобы максимизировать длину отрезка между ними. Это происходит, когда точки находятся на линии центров по разные стороны от отрезка $O_1O_2$.

Пусть точка $A_{max}$ лежит на первой окружности, а $B_{max}$ — на второй. Тогда расстояние $A_{max}B_{max}$ равно сумме расстояния от $A_{max}$ до $O_1$, расстояния между центрами $O_1O_2$ и расстояния от $O_2$ до $B_{max}$: $A_{max}B_{max} = A_{max}O_1 + O_1O_2 + O_2B_{max}$.

Поскольку $A_{max}$ лежит на первой окружности, $A_{max}O_1 = R_1$. Поскольку $B_{max}$ лежит на второй окружности, $O_2B_{max} = R_2$. Расстояние между центрами равно $d$. Следовательно, наибольшее расстояние равно $R_1 + d + R_2$.

Ответ: $R_1 + R_2 + d$.