Номер 20.13, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.13. Три окружности одинакового радиуса попарно касаются друг друга. Докажите, что их центры являются вершинами пра-вильного треугольника.

20.14. Могут ли попарно касаться три: а) три окружности

Пусть даны три окружности с центрами в точках $O_1, O_2, O_3$ и одинаковым радиусом, который мы обозначим как $r$.

По условию задачи, окружности попарно касаются друг друга. Это означает, что первая окружность касается второй, вторая — третьей, а третья — первой.

Рассмотрим две любые касающиеся окружности, например, с центрами в $O_1$ и $O_2$. Согласно свойству касающихся окружностей, их точка касания лежит на линии, соединяющей их центры. Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме их радиусов.

Поскольку радиусы всех окружностей равны $r$, расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ (длина стороны $O_1O_2$ треугольника) равно:

$O_1O_2 = r + r = 2r$

Аналогично, для пары окружностей с центрами в $O_2$ и $O_3$, которые также касаются друг друга, расстояние между их центрами (длина стороны $O_2O_3$) равно:

$O_2O_3 = r + r = 2r$

И для последней пары касающихся окружностей с центрами в $O_3$ и $O_1$, расстояние между их центрами (длина стороны $O_3O_1$) составляет:

$O_3O_1 = r + r = 2r$

Таким образом, мы получили, что все три стороны треугольника $\triangle O_1O_2O_3$, вершинами которого являются центры окружностей, равны между собой:

$O_1O_2 = O_2O_3 = O_3O_1 = 2r$

Треугольник, у которого все стороны равны, по определению является правильным (равносторонним). Следовательно, центры трех попарно касающихся окружностей одинакового радиуса являются вершинами правильного треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, образованный центрами окружностей, является правильным, так как все его стороны равны удвоенному радиусу окружностей ($2r$).