Номер 20.17, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.17. На какое наибольшее число областей могут разбивать плос-кость:

а) две окружности;

б) три окружности;

в) четыре окружности? Нарисуйте соответствующие области.

Для нахождения наибольшего числа областей, на которые $n$ окружностей могут разбивать плоскость, необходимо, чтобы каждая новая окружность пересекала все предыдущие в максимально возможном количестве точек. Две окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Таким образом, чтобы максимизировать число областей, $n$-я окружность должна пересекать каждую из $n-1$ предыдущих окружностей в двух различных точках, причем ни одна точка пересечения не должна принадлежать трем окружностям одновременно.

При добавлении $n$-й окружности она проходит через $2(n-1)$ точек пересечения с предыдущими окружностями. Эти точки делят $n$-ю окружность на $2(n-1)$ дуг. Каждая такая дуга делит одну из существующих областей на две, тем самым добавляя $2(n-1)$ новую область.

Пусть $R(n)$ — максимальное число областей для $n$ окружностей. Тогда справедлива рекуррентная формула: $R(n) = R(n-1) + 2(n-1)$ при $n \ge 1$. Если окружностей нет, вся плоскость является одной областью, то есть $R(0) = 1$. Однако удобнее начать с одной окружности: $R(1) = 2$.

Используя эту рекуррентную формулу, можно вывести общую формулу для максимального числа областей, на которые $n$ окружностей делят плоскость: $R(n) = n^2 - n + 2$.

а) две окружности

Для $n=2$ по формуле получаем: $R(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4$. Максимальное число областей достигается, когда две окружности пересекаются в двух точках. Это разделяет плоскость на четыре области: область вне обеих окружностей, две области внутри одной, но вне другой окружности, и область пересечения обеих окружностей.

Ответ: 4

б) три окружности

Для $n=3$ по формуле получаем: $R(3) = 3^2 - 3 + 2 = 9 - 3 + 2 = 8$. Чтобы получить максимальное число областей, каждая окружность должна пересекать две другие в двух различных точках, и никакие три окружности не должны пересекаться в одной точке. Классическим примером такого расположения является диаграмма Венна для трех множеств.

Ответ: 8

в) четыре окружности

Для $n=4$ по формуле получаем: $R(4) = 4^2 - 4 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14$. Чтобы получить максимальное число областей, каждая пара окружностей должна пересекаться, и никакие три окружности не должны пересекаться в одной точке. Такое расположение можно получить, например, разместив центры четырех окружностей одинакового радиуса в вершинах квадрата, сторона которого меньше диаметра, но больше радиуса окружностей.

Ответ: 14