Номер 20.14, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.14. Могут ли попарно касаться друг друга:

а) три окружности;

б) четыре окружности;

в) пять окружностей?

а) Да, три окружности могут попарно касаться друг друга. Мы можем расположить их на плоскости так, чтобы каждая касалась двух других. Центры этих трех окружностей образуют треугольник. Если радиусы окружностей равны $r_1, r_2, r_3$, то стороны треугольника, образованного их центрами, будут равны $r_1+r_2$, $r_2+r_3$ и $r_3+r_1$. Такое расположение всегда возможно. Пример показан на рисунке ниже.

Ответ: да, могут.

б) Да, четыре окружности также могут попарно касаться друг друга на плоскости. Один из способов это представить — взять три попарно касающиеся окружности из пункта а) и вписать в криволинейный треугольник, образованный ими, четвертую окружность. Эта четвертая окружность будет касаться каждой из трех исходных. Таким образом, все четыре окружности будут попарно касаться друг друга. Эта задача известна как частный случай задачи Аполлония, а получающиеся окружности иногда называют окружностями Содди.

Ответ: да, могут.

в) Нет, пять окружностей на плоскости не могут попарно касаться друг друга. Это можно доказать с помощью теории графов.
1. Сопоставим каждой окружности вершину графа.
2. Если две окружности касаются, соединим соответствующие им вершины ребром.
3. Если бы пять окружностей попарно касались друг друга, то соответствующий им граф был бы полным графом с 5 вершинами ($K_5$), где каждая вершина соединена ребром с каждой другой вершиной.
4. Граф, построенный на основе касающихся на плоскости окружностей (его называют графом касаний или графом монет), всегда является планарным. Планарный граф — это граф, который можно изобразить на плоскости так, чтобы его ребра не пересекались.
5. Однако, согласно теореме Куратовского, полный граф $K_5$ не является планарным. Невозможно нарисовать 5 точек и соединить каждую с каждой другой так, чтобы линии не пересекались.
Поскольку граф для пяти попарно касающихся окружностей ($K_5$) не является планарным, а любой граф касаний окружностей на плоскости должен быть планарным, мы приходим к противоречию. Следовательно, такое расположение пяти окружностей невозможно.

Ответ: нет, не могут.