Номер 20.16, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.16. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь:

а) две окружности;

б) три окружности;

в) четыре окружности;

г) $n$ окружностей?

Нарисуйте соответствующие окружности.

а) две окружности

Две различные окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Чтобы получить максимальное число точек пересечения, окружности должны пересекаться, а не касаться или не иметь общих точек. Ниже приведен пример расположения двух окружностей, имеющих 2 точки пересечения, отмеченные красным цветом.

Ответ: 2.

б) три окружности

Чтобы получить максимальное число точек пересечения для трех окружностей, каждая окружность должна пересекать две другие в двух различных точках. Общее число пар окружностей равно $C_3^2 = \binom{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$. Каждая пара дает 2 точки пересечения. Таким образом, максимальное число точек пересечения равно $3 \times 2 = 6$. Важным условием является то, что никакие три окружности не должны пересекаться в одной и той же точке. На рисунке показан пример такого расположения.

Ответ: 6.

в) четыре окружности

Аналогично рассуждая для четырех окружностей, мы должны максимизировать число попарных пересечений. Число пар окружностей из четырех равно $C_4^2 = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. Каждая пара может пересечься в двух точках, поэтому максимальное число точек пересечения равно $6 \times 2 = 12$. Для этого необходимо, чтобы каждая пара окружностей пересекалась в двух точках, и никакие три окружности не проходили через одну и ту же точку. Пример такого расположения приведен на рисунке.

Ответ: 12.

г) n окружностей

Обобщим задачу для $n$ окружностей. Чтобы получить наибольшее число точек пересечения, каждая окружность должна пересекать каждую из остальных $n-1$ окружностей в двух различных точках. При этом никакие две окружности не должны касаться, и никакие три окружности не должны пересекаться в одной точке.
Рассмотрим количество пар окружностей, которое можно составить из $n$ окружностей. Это число сочетаний из $n$ по 2:
$C_n^2 = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$
Каждая такая пара окружностей дает 2 точки пересечения. Следовательно, общее максимальное число точек пересечения $P(n)$ равно:
$P(n) = 2 \times C_n^2 = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$.
Этот результат можно также получить с помощью рекуррентного соотношения. Пусть $P(k)$ — максимальное число точек пересечения для $k$ окружностей. При добавлении $(k+1)$-й окружности она может пересечь каждую из $k$ предыдущих окружностей в двух новых точках, добавив $2k$ точек. Таким образом, $P(k+1) = P(k) + 2k$. Учитывая, что $P(1)=0$, получаем:
$P(n) = \sum_{i=1}^{n-1} 2i = 2 \sum_{i=1}^{n-1} i = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$.

Ответ: $n(n-1)$.