Вопросы, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 21. Геометрические места точек. Глава 4. Окружность. Геометрические построения - страница 120.

Условие.

1. Что называется геометрическим местом точек?

2. Определите окружность через понятие геометрического места точек.

3. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку?

4. Каким геометрическим местом точек является: а) серединный перпендикуляр к отрезку; б) биссектриса угла?

Решение.

Решение 2.

1. Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым заданным свойством, и только из них. Это означает, что для фигуры $F$, являющейся ГМТ с свойством $P$, должны выполняться два условия:

1. Каждая точка, принадлежащая фигуре $F$, обладает свойством $P$.

2. Каждая точка плоскости, обладающая свойством $P$, принадлежит фигуре $F$.

Ответ: Геометрическое место точек — это множество всех точек, удовлетворяющих определённому свойству.

2. С точки зрения геометрического места точек, окружность определяется как множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом, заданном расстоянии от одной данной точки. Эта данная точка называется центром окружности, а заданное расстояние — её радиусом. Если обозначить центр буквой $O$, а радиус — буквой $R$ (где $R > 0$), то любая точка $M$, принадлежащая окружности, удовлетворяет условию $OM = R$.

Ответ: Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

3. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

На рисунке прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, так как она проходит через его середину $M$ (отрезки $AM$ и $MB$ равны) и перпендикулярна ему ($m \perp AB$).

Ответ: Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

4. а) серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от концов этого отрезка. Это значит, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, находится на равном расстоянии от точек $A$ и $B$ (то есть $PA = PB$), и наоборот, любая точка, равноудалённая от $A$ и $B$, лежит на этом перпендикуляре.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

б) биссектриса угла

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, лежащих внутри угла и равноудалённых от его сторон. Расстояние от точки до стороны угла — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, содержащую сторону. Таким образом, для любой точки $P$ на биссектрисе её расстояния до сторон угла равны.

Ответ: Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.