Номер 21.4, страница 121 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.4. Населенные пункты $A, B, C, D$ расположены так, что пункт $A$ находится в нескольких километрах к югу от $D$, пункты $B$ и $C$ — на одинаковых расстояниях к западу и востоку (соответственно) от $A$. Верно ли, что $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от пункта $D$?

Для решения задачи представим расположение населенных пунктов в виде точек на плоскости. Обозначим их A, B, C и D. Проанализируем условия задачи с точки зрения геометрии. Условие, что пункт A находится к югу от D, а пункты B и C — к западу и востоку от A, означает, что прямая, содержащая отрезок DA, перпендикулярна прямой, содержащей отрезок BC. Условие, что B и C находятся на одинаковых расстояниях от A, означает, что длины отрезков AB и AC равны: $AB = AC$. Нам нужно определить, верно ли, что расстояния BD и CD равны.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Отрезок DA является в нем высотой, проведенной из вершины D к стороне BC, поскольку $DA \perp BC$. Так как по условию $AB = AC$, точка A является серединой основания BC. Следовательно, отрезок DA является также и медианой треугольника $\triangle BCD$. В любом треугольнике, если высота, проведенная из вершины, совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным. Таким образом, треугольник $\triangle BCD$ — равнобедренный с основанием BC, а его боковые стороны равны: $BD = CD$.

К этому же выводу можно прийти, используя теорему Пифагора. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle DAB$ и $\triangle DAC$ (они прямоугольные, так как $\angle DAB = \angle DAC = 90^\circ$). В $\triangle DAB$ квадрат гипотенузы $BD^2 = AD^2 + AB^2$. В $\triangle DAC$ квадрат гипотенузы $CD^2 = AD^2 + AC^2$. Так как катет AD — общий, а катеты AB и AC равны по условию ($AB=AC$), то правые части этих равенств равны между собой. Значит, равны и левые части: $BD^2 = CD^2$, откуда следует, что $BD = CD$.

Следовательно, утверждение, что пункты B и C находятся на одинаковом расстоянии от пункта D, является верным.

Ответ: да, верно.