Номер 21.9, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.9. Изобразите геометрическое место внутренних точек угла $AOB$, равноудаленных от его сторон (рис. 21.8).

а)

б)

в)

Рис. 21.8

Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, — это биссектриса этого угла. Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Для каждого из представленных углов необходимо построить его биссектрису.

а)Угол $AOB$ — прямой, так как его стороны лежат на перпендикулярных линиях сетки. Его градусная мера равна $90^\circ$. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по $45^\circ$. В данной системе координат, если принять точку $O$ за начало, это будет луч, проходящий по диагоналям клеток сетки. На рисунке искомое геометрическое место точек изображено синим лучом.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — биссектриса угла $AOB$, изображенная на рисунке синим лучом.

б)Чтобы построить биссектрису неразвернутого угла $AOB$, можно найти луч, исходящий из вершины $O$, все точки которого находятся на равном расстоянии от сторон $OA$ и $OB$. Примем точку $O$ за начало координат (0,0). Луч $OA$ проходит через точку с координатами (4,1). Луч $OB$ проходит через точку с координатами (2,4). Можно аналитически или с помощью геометрических построений показать, что биссектриса этого угла будет проходить через узел сетки с координатами (5,4) относительно точки $O$. На рисунке искомое геометрическое место точек изображено синим лучом.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — биссектриса угла $AOB$, изображенная на рисунке синим лучом.

в)Примем точку $O$ за начало локальной системы координат. Луч $OA$ проходит через точку (3,1), его угловой коэффициент $k_{OA} = 1/3$. Луч $OB$ проходит через точку (-1,3), его угловой коэффициент $k_{OB} = -3$. Поскольку произведение угловых коэффициентов $k_{OA} \cdot k_{OB} = (1/3) \cdot (-3) = -1$, то стороны угла $OA$ и $OB$ перпендикулярны, и угол $AOB$ является прямым ($90^\circ$). Биссектриса делит этот угол на два равных угла по $45^\circ$. Биссектриса данного прямого угла будет иметь угловой коэффициент $k=2$. Этот луч выходит из точки $O$ и проходит через узел сетки с координатами (1,2) относительно $O$. На рисунке искомое геометрическое место точек изображено синим лучом.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — биссектриса угла $AOB$, изображенная на рисунке синим лучом.