Номер 21.3, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.3. На прямой $c$ изобразите точку $C$, равноудаленную от точек $A$ и $B$ (рис. 21.4).

б) Рис. 21.4

Задача заключается в нахождении на прямой c точки C, которая равноудалена от двух данных точек A и B. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, чтобы найти точку C, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить отрезок AB.

2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AB.

3. Найти точку пересечения этого перпендикуляра с прямой c. Эта точка и будет искомой точкой C.

а) Выполним построение для случая а). Введем систему координат, приняв сторону клетки за единицу длины и разместив начало координат в левом нижнем углу видимой сетки.

1. Координаты точек: $A(1, 1)$ и $B(3, 1)$.

2. Найдем середину отрезка AB — точку M. Ее координаты вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка: $M(\frac{1+3}{2}; \frac{1+1}{2}) = M(2; 1)$.

3. Отрезок AB является горизонтальным, так как ординаты точек A и B совпадают. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку — это вертикальная прямая, проходящая через его середину. Уравнение этой прямой — $x=2$.

4. Искомая точка C — это точка пересечения прямой $c$ и серединного перпендикуляра $x=2$. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $(2, 3)$.

На рисунке ниже показано построение. Серединный перпендикуляр к AB показан зеленой пунктирной линией. Точка C — это пересечение этой линии с прямой c. Серыми пунктирными линиями показаны равные отрезки AC и BC.

Для проверки можно вычислить длины отрезков $AC$ и $BC$ по формуле расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:

$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

Поскольку $AC = BC$, точка $C$ найдена верно.

Ответ: Искомая точка C построена на рисунке.

б) Выполним построение для случая б), используя тот же метод. Введем аналогичную систему координат.

1. Координаты точек: $A(1, 3)$ и $B(4, 1)$.

2. Найдем середину отрезка AB — точку M: $M(\frac{1+4}{2}; \frac{3+1}{2}) = M(2.5; 2)$.

3. Найдем угловой коэффициент (наклон) прямой AB: $k_{AB} = \frac{1-3}{4-1} = -\frac{2}{3}$.

4. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_{\perp}$ связан с $k_{AB}$ соотношением $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$. Отсюда $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.

5. Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через точку $M(2.5; 2)$ с угловым коэффициентом $k_{\perp} = \frac{3}{2}$.

6. Прямая c в данном случае является вертикальной прямой $x=3$. Искомая точка C имеет абсциссу $x=3$. Для нахождения ординаты точки C подставим ее абсциссу в уравнение серединного перпендикуляра $y - y_M = k_{\perp}(x - x_M)$:

$y - 2 = \frac{3}{2}(3 - 2.5) = \frac{3}{2} \cdot 0.5 = \frac{3}{4} = 0.75$.

Отсюда $y = 2 + 0.75 = 2.75$. Таким образом, координаты точки $C$ — $(3; 2.75)$.

На рисунке ниже показано построение. Серединный перпендикуляр к AB показан зеленой пунктирной линией.

Ответ: Искомая точка C построена на рисунке.