Номер 21.8, страница 121 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.8. Пусть $A$ и $B$ — точки плоскости. Укажите геометрическое место точек $C$, для которых:

а) $AC \ge BC$;

б) $AC < AB$.

а) $AC \ge BC$

Для решения этой задачи рассмотрим отдельно случай равенства и случай строгого неравенства.

1. Случай равенства: $AC = BC$. Геометрическое место точек $C$, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую как $l$.

2. Случай неравенства: $AC > BC$. Прямая $l$ (серединный перпендикуляр) делит плоскость на две открытые полуплоскости. Для любой точки $C$, лежащей в той же полуплоскости, что и точка $B$, расстояние до $A$ будет больше, чем расстояние до $B$. То есть, для всех точек этой полуплоскости выполняется неравенство $AC > BC$. Для любой точки $C'$, лежащей в той же полуплоскости, что и точка $A$, будет выполняться обратное неравенство: $AC' < BC'$.

3. Объединение. Условие $AC \ge BC$ означает, что точка $C$ может либо лежать на серединном перпендикуляре $l$ (случай $AC=BC$), либо в полуплоскости, содержащей точку $B$ (случай $AC > BC$). Объединение этих двух множеств дает замкнутую полуплоскость, границей которой является серединный перпендикуляр $l$ к отрезку $AB$, и которая содержит точку $B$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это замкнутая полуплоскость, содержащая точку $B$, границей которой является серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

б) $AC < AB$

Данное неравенство $AC < AB$ описывает все точки $C$ на плоскости, расстояние от которых до точки $A$ меньше, чем фиксированное расстояние между точками $A$ и $B$.

Пусть $R = AB$ — это длина отрезка $AB$. Тогда неравенство можно переписать в виде $AC < R$.

По определению, окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$ — это геометрическое место точек $C$, для которых $AC = R$. Эта окружность будет проходить через точку $B$.

Множество всех точек $C$, для которых расстояние до центра $A$ меньше радиуса $R$ ($AC < R$), представляет собой все точки, лежащие внутри этой окружности. Такая фигура называется открытым кругом (или внутренностью круга). Поскольку неравенство строгое ($<$), сама окружность (граница круга) в искомое множество не входит.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это открытый круг (то есть внутренность круга, не включая границу) с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.