Страница 121 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.4. Населенные пункты $A, B, C, D$ расположены так, что пункт $A$ находится в нескольких километрах к югу от $D$, пункты $B$ и $C$ — на одинаковых расстояниях к западу и востоку (соответственно) от $A$. Верно ли, что $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от пункта $D$?

Для решения задачи представим расположение населенных пунктов в виде точек на плоскости. Обозначим их A, B, C и D. Проанализируем условия задачи с точки зрения геометрии. Условие, что пункт A находится к югу от D, а пункты B и C — к западу и востоку от A, означает, что прямая, содержащая отрезок DA, перпендикулярна прямой, содержащей отрезок BC. Условие, что B и C находятся на одинаковых расстояниях от A, означает, что длины отрезков AB и AC равны: $AB = AC$. Нам нужно определить, верно ли, что расстояния BD и CD равны.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Отрезок DA является в нем высотой, проведенной из вершины D к стороне BC, поскольку $DA \perp BC$. Так как по условию $AB = AC$, точка A является серединой основания BC. Следовательно, отрезок DA является также и медианой треугольника $\triangle BCD$. В любом треугольнике, если высота, проведенная из вершины, совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным. Таким образом, треугольник $\triangle BCD$ — равнобедренный с основанием BC, а его боковые стороны равны: $BD = CD$.

К этому же выводу можно прийти, используя теорему Пифагора. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle DAB$ и $\triangle DAC$ (они прямоугольные, так как $\angle DAB = \angle DAC = 90^\circ$). В $\triangle DAB$ квадрат гипотенузы $BD^2 = AD^2 + AB^2$. В $\triangle DAC$ квадрат гипотенузы $CD^2 = AD^2 + AC^2$. Так как катет AD — общий, а катеты AB и AC равны по условию ($AB=AC$), то правые части этих равенств равны между собой. Значит, равны и левые части: $BD^2 = CD^2$, откуда следует, что $BD = CD$.

Следовательно, утверждение, что пункты B и C находятся на одинаковом расстоянии от пункта D, является верным.

Ответ: да, верно.

21.5. Два дома расположены по разные стороны от шоссе (рис. 21.5).

Где следует построить автобусную остановку, которая была бы равноудалена от обоих домов?

Рис. 21.5

Для того чтобы найти место для автобусной остановки, равноудаленной от двух домов, необходимо воспользоваться понятием геометрического места точек. Пусть дома находятся в точках A и B, а шоссе — это прямая c. Искомая точка, назовем ее M, должна одновременно удовлетворять двум условиям: во-первых, она должна лежать на шоссе (прямой c), и, во-вторых, она должна находиться на одинаковом расстоянии от обоих домов (то есть, расстояние $MA$ должно быть равно расстоянию $MB$, или $MA = MB$).

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух заданных точек A и B, представляет собой прямую, которая называется серединным перпендикуляром к отрезку AB. Эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему.

Следовательно, поскольку искомая точка M должна лежать как на шоссе c, так и на серединном перпендикуляре к отрезку AB, она может быть найдена как точка их пересечения.

Для построения этой точки необходимо последовательно выполнить следующие действия: соединить отрезком точки A и B, обозначающие дома; построить серединный перпендикуляр к этому отрезку; найти точку пересечения построенного перпендикуляра с прямой c (шоссе). Эта точка и будет искомым местом для автобусной остановки.

Наглядное построение показано на рисунке ниже, где синей пунктирной линией p обозначен серединный перпендикуляр к отрезку AB, а точкой M — искомое место остановки.

Ответ: Автобусную остановку следует построить в точке пересечения шоссе и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему дома.

21.6. Перед вами часть карты острова, на котором когда-то пираты зарыли сокровища (рис. 21.6). К сожалению, на карте не отмечено место, где они спрятаны, но зато сохранились ориентиры (камень на развилке дорог и два дуба), по которым можно определить место. Известно, что сокровища зарыты в месте, одинаково удаленном и от двух дорог, и от дубов. Сможете ли вы отыскать клад?

Рис. 21.6

Да, клад отыскать можно. Для этого нужно использовать свойства геометрических мест точек, удовлетворяющих заданным условиям.

Задача сводится к нахождению точки, которая удовлетворяет двум условиям одновременно:
1. Точка одинаково удалена от двух дорог.
2. Точка одинаково удалена от двух дубов.

Рассмотрим каждое условие по отдельности с точки зрения геометрии. Дороги представляют собой два луча, выходящие из одной точки (развилки), то есть они образуют угол. Дубы — это две точки на плоскости.

Условие 1: Равноудаленность от двух дорог.
Множество всех точек, равноудаленных от двух сторон угла, является его биссектрисой. Следовательно, местоположение клада должно лежать на биссектрисе угла, образованного дорогами.

Условие 2: Равноудаленность от двух дубов.
Множество всех точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае, дубов), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти две точки. Таким образом, клад должен находиться на этом серединном перпендикуляре.

Решение:
Поскольку местоположение клада должно удовлетворять обоим условиям, искомая точка является точкой пересечения двух построенных линий: биссектрисы угла, образованного дорогами, и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему дубы.
Чтобы найти клад, нужно выполнить следующие построения на карте:
1. Построить биссектрису угла, который образуют дороги (на рисунке ниже она показана синей пунктирной линией).
2. Соединить две точки, обозначающие дубы, отрезком (серая пунктирная линия).
3. Построить серединный перпендикуляр к этому отрезку (вторая синяя пунктирная линия).
4. Точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра и будет точным местом, где зарыт клад.

Так как биссектриса и серединный перпендикуляр (если они не совпадают и не параллельны) пересекаются в одной-единственной точке, местоположение клада определяется однозначно.

Ответ: Да, клад отыскать можно. Он находится в точке пересечения биссектрисы угла, образованного дорогами, и серединного перпендикуляра к отрезку, который соединяет два дуба.

21.7. Отметьте точку, равноудаленную от точек $A$, $B$ и $C$ (рис. 21.7).

в) Рис. 21.7

Для нахождения точки, равноудаленной от трех заданных точек А, В и С, необходимо найти центр окружности, описанной около треугольника АВС. Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

а) Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону клетки сетки, а за начало координат — левый нижний узел сетки. В этой системе точки имеют координаты: A(0, 2), B(3, 1), C(3, 3). Найдем серединный перпендикуляр к стороне BC. Так как отрезок BC вертикален, его серединный перпендикуляр будет горизонтальной прямой. Середина отрезка BC имеет координаты $M_{BC}(\frac{3+3}{2}, \frac{1+3}{2}) = (3, 2)$. Уравнение серединного перпендикуляра к BC: $y = 2$. Найдем серединный перпендикуляр к стороне AB. Середина отрезка AB имеет координаты $M_{AB}(\frac{0+3}{2}, \frac{2+1}{2}) = (1.5, 1.5)$. Угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{1-2}{3-0} = -\frac{1}{3}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = 3$. Уравнение перпендикуляра, проходящего через точку $M_{AB}(1.5, 1.5)$ с угловым коэффициентом 3, имеет вид: $y - 1.5 = 3(x - 1.5)$, что упрощается до $y = 3x - 3$. Для нахождения точки пересечения (обозначим ее O) решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 2 \\ y = 3x - 3 \end{cases} $$ Подставляя $y=2$ во второе уравнение, получаем $2 = 3x - 3$, откуда $3x = 5$ и $x = \frac{5}{3}$. Таким образом, искомая точка O имеет координаты O($\frac{5}{3}, 2$). На рисунке эта точка отмечена синим крестиком.

б) Аналогично, введем систему координат с началом в левом нижнем углу. Координаты точек: A(0, 3), B(2, 1), C(3, 3). Найдем серединный перпендикуляр к стороне AC. Отрезок AC горизонтален. Его середина $M_{AC}(\frac{0+3}{2}, \frac{3+3}{2}) = (1.5, 3)$. Серединный перпендикуляр — вертикальная прямая $x = 1.5$. Найдем серединный перпендикуляр к стороне AB. Середина отрезка AB имеет координаты $M_{AB}(\frac{0+2}{2}, \frac{3+1}{2}) = (1, 2)$. Угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{1-3}{2-0} = -1$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = 1$. Уравнение перпендикуляра: $y - 2 = 1(x - 1)$, что упрощается до $y = x + 1$. Найдем точку пересечения O, решив систему: $$ \begin{cases} x = 1.5 \\ y = x + 1 \end{cases} $$ Подставляя $x=1.5$ во второе уравнение, получаем $y = 1.5 + 1 = 2.5$. Искомая точка O имеет координаты O(1.5, 2.5). На рисунке эта точка отмечена синим крестиком.

в) Снова используем метод серединных перпендикуляров. В системе координат с началом в левом нижнем углу точки имеют координаты: A(0, 1), B(2, 1), C(4, 2). Найдем серединный перпендикуляр к стороне AB. Отрезок AB горизонтален. Его середина $M_{AB}(\frac{0+2}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, 1)$. Серединный перпендикуляр — вертикальная прямая $x = 1$. Найдем серединный перпендикуляр к стороне BC. Середина отрезка BC имеет координаты $M_{BC}(\frac{2+4}{2}, \frac{1+2}{2}) = (3, 1.5)$. Угловой коэффициент прямой BC равен $k_{BC} = \frac{2-1}{4-2} = \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{BC}} = -2$. Уравнение перпендикуляра: $y - 1.5 = -2(x - 3)$, что упрощается до $y = -2x + 7.5$. Найдем точку пересечения O, решив систему: $$ \begin{cases} x = 1 \\ y = -2x + 7.5 \end{cases} $$ Подставляя $x=1$ во второе уравнение, получаем $y = -2(1) + 7.5 = 5.5$. Искомая точка O имеет координаты O(1, 5.5). Эта точка лежит за пределами исходной сетки, что является допустимым результатом. На рисунке сетка продлена вверх для отображения этой точки.

21.8. Пусть $A$ и $B$ — точки плоскости. Укажите геометрическое место точек $C$, для которых:

а) $AC \ge BC$;

б) $AC < AB$.

а) $AC \ge BC$

Для решения этой задачи рассмотрим отдельно случай равенства и случай строгого неравенства.

1. Случай равенства: $AC = BC$. Геометрическое место точек $C$, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую как $l$.

2. Случай неравенства: $AC > BC$. Прямая $l$ (серединный перпендикуляр) делит плоскость на две открытые полуплоскости. Для любой точки $C$, лежащей в той же полуплоскости, что и точка $B$, расстояние до $A$ будет больше, чем расстояние до $B$. То есть, для всех точек этой полуплоскости выполняется неравенство $AC > BC$. Для любой точки $C'$, лежащей в той же полуплоскости, что и точка $A$, будет выполняться обратное неравенство: $AC' < BC'$.

3. Объединение. Условие $AC \ge BC$ означает, что точка $C$ может либо лежать на серединном перпендикуляре $l$ (случай $AC=BC$), либо в полуплоскости, содержащей точку $B$ (случай $AC > BC$). Объединение этих двух множеств дает замкнутую полуплоскость, границей которой является серединный перпендикуляр $l$ к отрезку $AB$, и которая содержит точку $B$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это замкнутая полуплоскость, содержащая точку $B$, границей которой является серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

б) $AC < AB$

Данное неравенство $AC < AB$ описывает все точки $C$ на плоскости, расстояние от которых до точки $A$ меньше, чем фиксированное расстояние между точками $A$ и $B$.

Пусть $R = AB$ — это длина отрезка $AB$. Тогда неравенство можно переписать в виде $AC < R$.

По определению, окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$ — это геометрическое место точек $C$, для которых $AC = R$. Эта окружность будет проходить через точку $B$.

Множество всех точек $C$, для которых расстояние до центра $A$ меньше радиуса $R$ ($AC < R$), представляет собой все точки, лежащие внутри этой окружности. Такая фигура называется открытым кругом (или внутренностью круга). Поскольку неравенство строгое ($<$), сама окружность (граница круга) в искомое множество не входит.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это открытый круг (то есть внутренность круга, не включая границу) с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.