Страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.11. Какой вид имеет треугольник, если его центры вписанной и описанной окружностей совпадают?

22.12. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник,

Чтобы определить вид треугольника, вспомним определения центров вписанной и описанной окружностей.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

По условию задачи, эти два центра совпадают. Пусть треугольник называется $ABC$, а общая точка центров — $O$.

Если точка $O$ является одновременно инцентром и циркумцентром, это означает, что для каждой вершины треугольника биссектриса угла совпадает с серединным перпендикуляром к противолежащей стороне.

Рассмотрим вершину $A$. Биссектриса угла $A$ проходит через точку $O$. Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ также проходит через точку $O$. Следовательно, биссектриса угла $A$ и серединный перпендикуляр к стороне $BC$ лежат на одной прямой.

Вспомним свойство треугольника: если биссектриса угла является также высотой и медианой, то треугольник является равнобедренным. Серединный перпендикуляр, проведенный из вершины, является одновременно и высотой, и медианой.

Таким образом, для треугольника $ABC$ биссектриса из вершины $A$ является также высотой и медианой к стороне $BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, и $AB = AC$.

Применяя те же рассуждения к вершине $B$, мы получаем, что биссектриса угла $B$ совпадает с серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Отсюда следует, что $BA = BC$.

Сопоставив оба результата, мы имеем систему равенств:$AB = AC$$AB = BC$

Из этой системы следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = BC = AC$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним (или правильным).

Ответ: треугольник является равносторонним.

22.12. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 5 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

Согласно условию, точка касания $N$ на боковой стороне $BC$ делит её на отрезки длиной 5 см и 4 см, считая от основания. Таким образом, отрезок $CN$, примыкающий к основанию $AC$, равен 5 см, а отрезок $BN$ равен 4 см. Полная длина боковой стороны $BC$ составляет $BC = CN + BN = 5 + 4 = 9$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным, его боковые стороны равны: $AB = BC = 9$ см.

Для нахождения длины основания воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки: они равны.Из вершины $C$ проведены касательные $CN$ и $CK$, следовательно, $CK = CN = 5$ см.Из вершины $B$ проведены касательные $BN$ и $BM$, следовательно, $BM = BN = 4$ см.Из вершины $A$ проведены касательные $AM$ и $AK$. Длину отрезка $AM$ можно найти, зная длину стороны $AB$: $AM = AB - BM = 9 - 4 = 5$ см. Следовательно, $AK = AM = 5$ см.

Длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $CK$:$AC = AK + CK = 5 + 5 = 10$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:$P = AB + BC + AC = 9 + 9 + 10 = 28$ см.

Ответ: 28 см.

22.13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного равнобедренного треугольника, гипотенуза которого равна 10 см.

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза которого равна $c$. По условию задачи, $c = 10$ см.

Ключевым свойством для решения этой задачи является то, что центр окружности, описанной около любого прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Это связано с тем, что прямой угол ($90^\circ$) является вписанным углом, который опирается на диаметр окружности. Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности.

Обозначим радиус описанной окружности как $R$, а ее диаметр как $D$. Поскольку гипотенуза $c$ является диаметром, имеем: $D = c = 10$ см.

Радиус окружности равен половине ее диаметра. Следовательно, мы можем вычислить радиус по следующей формуле: $R = \frac{D}{2} = \frac{c}{2}$

Подставим известное значение длины гипотенузы в формулу: $R = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Следует отметить, что условие о том, что треугольник является равнобедренным, является избыточным для нахождения радиуса описанной окружности, так как указанное свойство справедливо для абсолютно любого прямоугольного треугольника.

Ответ: 5 см.

22.14. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны 4 см, а угол, заключенный между ними, равен 120°.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 4$ см, а угол между ними $\angle B = 120^\circ$. Необходимо найти радиус $R$ описанной около этого треугольника окружности.

Для решения задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов, согласно которой отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника и равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Сначала найдем углы при основании треугольника. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$2\angle A + 120^\circ = 180^\circ$

$2\angle A = 180^\circ - 120^\circ$

$2\angle A = 60^\circ$

$\angle A = 30^\circ$

Теперь мы знаем сторону треугольника ($BC = 4$ см) и противолежащий ей угол ($\angle A = 30^\circ$). Мы можем применить теорему синусов для нахождения радиуса $R$.

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = 2R$

Подставляем известные значения в формулу:

$\frac{4}{\sin(30^\circ)} = 2R$

Известно, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\frac{4}{\frac{1}{2}} = 2R$

$4 \cdot 2 = 2R$

$8 = 2R$

$R = 4$ см.

Ответ: 4 см.

22.15. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, стороны которого равны 3 см, 4 см, 5 см.

Дан треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Чтобы найти радиус вписанной окружности, сначала определим тип треугольника. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), где $c$ — наибольшая сторона:$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.Гипотенуза в квадрате: $5^2 = 25$.Поскольку равенство $3^2 + 4^2 = 5^2$ выполняется, треугольник является прямоугольным. Его катеты (стороны, образующие прямой угол) равны $a = 3$ см и $b = 4$ см, а гипотенуза (сторона напротив прямого угла) равна $c = 5$ см.

Для нахождения радиуса $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, существует простая формула, связывающая радиус с длинами сторон:$r = \frac{a + b - c}{2}$Подставим в эту формулу значения катетов и гипотенузы:$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

22.16. Изобразите отрезок $AB$. С центром в точке $A$ и радиусом $AB$ проведите окружность. С центром в точке $B$ и радиусом $BA$ проведите окружность. Через точки пересечения этих окружностей проведите прямую. Что можно сказать об этой прямой?

Выполним построение согласно условию задачи.
1. Изобразим произвольный отрезок $AB$.
2. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.
3. Построим вторую окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $BA$.
4. Обозначим точки пересечения этих двух окружностей буквами $C$ и $D$.
5. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.
В результате получим следующий чертеж:

Теперь проанализируем свойства полученной прямой $CD$.
Пусть длина отрезка $AB$ равна $R$. Тогда радиусы обеих окружностей также равны $R$.
Рассмотрим точку пересечения $C$. Поскольку она лежит на первой окружности (с центром $A$), расстояние $AC$ равно ее радиусу, то есть $AC = R$. Поскольку точка $C$ также лежит и на второй окружности (с центром $B$), расстояние $BC$ равно ее радиусу, то есть $BC = R$.
Таким образом, в треугольнике $ΔACB$ все стороны равны: $AC = BC = AB = R$. Это означает, что треугольник $ΔACB$ является равносторонним.
Аналогичные рассуждения применимы и к точке пересечения $D$. Расстояния $AD$ и $BD$ равны радиусам соответствующих окружностей, то есть $AD = R$ и $BD = R$. Следовательно, треугольник $ΔADB$ также является равносторонним.
Четырехугольник $ACBD$ имеет четыре равные стороны ($AC = CB = BD = DA = R$), а значит, является ромбом.
Прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, и отрезок $AB$ являются диагоналями этого ромба.
Согласно основному свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
Отсюда следует, что прямая $CD$ перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. Такая прямая по определению называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Ответ: Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Она перпендикулярна отрезку $AB$ и делит его пополам.