Страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.12. Используя рисунок 23.13, постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне этой окружности.

$O$, $A$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$

Рис. 23.13

Для построения касательной к данной окружности, проходящей через данную точку вне этой окружности, необходимо выполнить следующую последовательность действий (алгоритм построения). На рисунке показан результат построения.

Построение
1. Соединить данную точку $A$ с центром окружности $O$, получив отрезок $OA$.
2. Найти середину отрезка $OA$. Обозначим эту точку $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к отрезку $OA$.
3. Построить вспомогательную окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным длине отрезка $MO$ (или $MA$). На рисунке из условия эта окружность показана пунктиром.
4. Найти точки пересечения $B_1$ и $B_2$ исходной и вспомогательной окружностей.
5. Провести прямые $AB_1$ и $AB_2$. Эти прямые и являются искомыми касательными.

Доказательство
Рассмотрим треугольник $ΔOB_1A$. Точка $B_1$ лежит на вспомогательной окружности, для которой отрезок $OA$ является диаметром. По свойству угла, вписанного в окружность и опирающегося на диаметр, угол $∠OB_1A$ является прямым, то есть $∠OB_1A = 90°$.
Это означает, что прямая $AB_1$ перпендикулярна радиусу $OB_1$ исходной окружности, проведенному в точку $B_1$. По признаку касательной, прямая, проходящая через точку на окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной к этой окружности.
Следовательно, прямая $AB_1$ — касательная. Аналогично доказывается, что и прямая $AB_2$ также является касательной к данной окружности.

Исследование
Так как по условию точка $A$ лежит вне окружности, расстояние от нее до центра $O$ больше радиуса исходной окружности. В этом случае вспомогательная окружность на диаметре $OA$ всегда пересекает исходную окружность в двух различных точках. Следовательно, задача всегда имеет два решения — из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: искомые касательные строятся по приведенному выше алгоритму; это прямые $AB_1$ и $AB_2$, где $B_1$ и $B_2$ — точки пересечения исходной окружности и вспомогательной окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре.

Подготовьте сообщение

23.13. Популярная задача на построение с помощью циркуля и линейки в V в. до н. э. "Задача об удвоении куба", которая называется Делосской.

Легенда о происхождении и суть задачи

Задача об удвоении куба, также известная как Делосская задача, — одна из трех знаменитых классических задач на построение древнегреческой математики, наряду с трисекцией угла и квадратурой круга. Она заключается в построении ребра куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба, с использованием только циркуля и линейки без делений.

Своим вторым названием задача обязана древней легенде, которую пересказал Эратосфен. Согласно преданию, в 430 году до н. э. в Афинах разразилась чума. В поисках спасения афиняне обратились к оракулу Аполлона на острове Делос. Оракул повелел им удвоить жертвенник в храме, который имел форму куба. Афиняне, недолго думая, построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза длиннее ребра старого. Однако это увеличило объем не в два, а в восемь раз ($2^3=8$), и чума не отступила. Когда афиняне снова обратились к оракулу, им разъяснили, что требовалось удвоить именно объем жертвенника, а не длину его стороны. Так возникла математическая проблема, над которой бились лучшие умы античности.

Ответ:

Математическая формулировка

С точки зрения математики, задача формулируется следующим образом. Пусть дан куб с ребром длины $a$. Его объем равен $V_1 = a^3$. Необходимо построить ребро $x$ нового куба, объем которого $V_2$ будет вдвое больше объема исходного куба: $V_2 = 2V_1 = 2a^3$.

Таким образом, мы имеем уравнение: $x^3 = 2a^3$.

Разделив обе части на $a^3$, получим $(\frac{x}{a})^3 = 2$, откуда следует, что $\frac{x}{a} = \sqrt[3]{2}$.

Следовательно, искомая длина ребра $x$ равна $x = a\sqrt[3]{2}$.

Задача сводится к построению отрезка длиной $\sqrt[3]{2}$, если за единицу измерения принять длину ребра исходного куба ($a=1$). Все построения должны выполняться исключительно с помощью циркуля и идеальной линейки (без меток).

Ответ:

Доказательство неразрешимости

Неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки была строго доказана лишь в XIX веке. Доказательство опирается на связь геометрических построений с алгеброй полей.

Основные положения теории построений:

1. Начиная с отрезка единичной длины, с помощью циркуля и линейки можно построить любой отрезок, длина которого является рациональным числом. Множество таких чисел образует поле $\mathbb{Q}$.
2. Циркуль и линейка позволяют выполнять четыре арифметических действия (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение квадратного корня.
3. Любая длина, которую можно построить, должна принадлежать полю, полученному из $\mathbb{Q}$ путем последовательного присоединения квадратных корней. Степень такого расширения поля над $\mathbb{Q}$ всегда является степенью двойки.

Таким образом, число $\alpha$ является построимым тогда и только тогда, когда степень минимального многочлена для $\alpha$ над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ равна степени двойки. Математически это записывается как $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 2^n$ для некоторого целого $n \ge 0$.

Для решения задачи удвоения куба нам необходимо построить число $\sqrt[3]{2}$. Это число является корнем многочлена $p(x) = x^3 - 2$. Этот многочлен неприводим над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ (например, по критерию Эйзенштейна для простого числа $p=2$). Это означает, что $x^3 - 2$ является минимальным многочленом для $\sqrt[3]{2}$.

Степень этого многочлена равна 3. Следовательно, степень расширения поля $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ равна 3.

Поскольку 3 не является степенью двойки ($3 \ne 2^n$), число $\sqrt[3]{2}$ не является построимым. Это означает, что задача об удвоении куба не имеет решения в рамках классических построений с помощью циркуля и линейки. Этот результат был установлен французским математиком Пьером Ванцелем в 1837 году.

Ответ:

Альтернативные методы решения

Несмотря на невозможность решения задачи классическими методами, древнегреческие математики нашли множество способов ее решения, выходя за строгие рамки "циркуля и линейки".

• Метод Гиппократа Хиосского (V в. до н. э.): Он свёл задачу удвоения куба к нахождению двух средних пропорциональных между двумя отрезками $a$ и $2a$. То есть, к нахождению таких $x$ и $y$, что выполняется пропорция $a : x = x : y = y : 2a$. Из этой пропорции следуют соотношения $x^2 = ay$ и $y^2 = 2ax$. Подставляя $y = x^2/a$ из первого уравнения во второе, получаем $(x^2/a)^2 = 2ax$, что приводит к уравнению $x^3 = 2a^3$. Таким образом, найденный отрезок $x$ является ребром удвоенного куба.
• Метод Менехма (IV в. до н. э.): Ученик Платона Менехм нашел решение, используя конические сечения. Он показал, что искомые отрезки $x$ и $y$ из метода Гиппократа можно найти как координаты точки пересечения двух парабол, заданных уравнениями $x^2 = ay$ и $y^2 = 2ax$.
• Другие методы: Были предложены и другие решения, использующие более сложные инструменты или кривые. Архит Тарентский предложил решение с помощью пространственного построения, находя точку пересечения трех поверхностей вращения (конуса, цилиндра и тора). Никомед изобрел специальную кривую — конхоиду, с помощью которой также решал эту задачу. Диокл для этой же цели использовал другую кривую — циссоиду. Решение также возможно при использовании линейки с двумя метками (метод "невсиса").

Все эти методы демонстрируют глубокое понимание геометрии древними учеными, которые, столкнувшись с ограничениями классических инструментов, искали и находили новые пути решения проблемы.

Ответ:

23.14. a) Что называется параболой? Оптическое свойство параболы.

б) Что называется эллипсом? Оптическое свойство эллипса.

в) Что называется гиперболой? Оптическое свойство гиперболы.

а) Что называется параболой? Оптическое свойство параболы.

Парабола — это геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой фокусом ($F$), и от заданной прямой, называемой директрисой ($d$). Для любой точки $M$, лежащей на параболе, выполняется равенство $MF = \rho(M, d)$, где $\rho(M, d)$ — расстояние от точки $M$ до прямой $d$.

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью Ox, имеет вид: $y^2 = 2px$. В этом случае фокус $F$ имеет координаты $(p/2, 0)$, а уравнение директрисы — $x = -p/2$. Параметр $p$ называется фокальным параметром.

Оптическое свойство параболы (или фокальное свойство) заключается в её способности фокусировать лучи. Пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, после отражения от неё собирается в фокусе. И наоборот: если источник света поместить в фокус параболического зеркала, то отражённые лучи образуют пучок, параллельный оси симметрии. Это свойство используется в конструкциях прожекторов, автомобильных фар, спутниковых антенн и телескопов-рефлекторов.

Ответ: Парабола — это множество точек плоскости, равноудалённых от фокуса и директрисы. Оптическое свойство: лучи, параллельные оси параболы, после отражения собираются в её фокусе, и наоборот.

б) Что называется эллипсом? Оптическое свойство эллипса.

Эллипс — это геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами ($F_1$ и $F_2$), есть величина постоянная ($2a$), причём эта постоянная больше, чем расстояние между фокусами ($2c$). Для любой точки $M$ на эллипсе выполняется равенство $MF_1 + MF_2 = 2a$.

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Здесь $a$ — большая полуось, $b$ — малая полуось. Они связаны с фокусным расстоянием $c$ (расстояние от центра до фокуса) соотношением $a^2 = b^2 + c^2$.

Оптическое свойство эллипса состоит в том, что лучи света, исходящие из одного фокуса ($F_1$), после отражения от эллиптического зеркала собираются (фокусируются) в другом его фокусе ($F_2$). Это явление наблюдается в "шепчущих галереях" и используется в медицине (литотрипсия).

Ответ: Эллипс — это множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна. Оптическое свойство: луч, вышедший из одного фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус.

в) Что называется гиперболой? Оптическое свойство гиперболы.

Гипербола — это геометрическое место точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами ($F_1$ и $F_2$), есть величина постоянная ($2a$), причём эта постоянная меньше, чем расстояние между фокусами ($2c$). Для любой точки $M$ на гиперболе выполняется равенство $|MF_1 - MF_2| = 2a$.

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Здесь $a$ — действительная полуось, $b$ — мнимая полуось. Фокусное расстояние $c$ связано с полуосями соотношением $c^2 = a^2 + b^2$.

Оптическое свойство гиперболы заключается в следующем: луч света, исходящий из одного фокуса ($F_1$), после отражения от ближайшей к нему ветви гиперболического зеркала распространяется так, как будто он был выпущен из второго (мнимого) фокуса ($F_2$). И наоборот: луч, направленный в один фокус ($F_2$), отразившись от другой ветви гиперболы, попадёт в первый фокус ($F_1$). Это свойство используется в телескопах системы Кассегрена.

Ответ: Гипербола — это множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов постоянен. Оптическое свойство: луч, выпущенный из одного фокуса, после отражения от гиперболы движется так, будто он исходит из другого фокуса.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько окружностей могут иметь центром данную точку:

А. Ни одной. В. Одна. С. Две. D. Бесконечно много?

2. Сколько окружностей можно провести через одну точку:

А. Одну. В. Две. С. Три. D. Бесконечно много?

3. Сколько окружностей можно провести через две точки:

А. Ни одной. В. Одну. С. Две. D. Бесконечно много?

4. Какому соотношению удовлетворяют точки $M$, лежащие вне круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$:

А. $OM \ge R$. В. $OM > R$. С. $OM < R$. D. $OM < R$?

5. Какому соотношению удовлетворяют точки $K$, лежащие внутри круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$:

А. $OK \le R$. В. $OK \ge R$. С. $OK < R$. D. $OK > R$?

6. Диаметр окружности равен 10 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 3 см:

А. Не пересекает. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?

7. Диаметр окружности равен 8 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 4 см:

А. Не пересекает. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?

8. Диаметр окружности равен 6 см. Как располагается относительно этой окружности прямая, если она удалена от центра окружности на 5 см:

А. Не имеет с окружностью ни одной общей точки. В. Пересекает. С. Касается. D. Нельзя определить?

9. Радиусы двух окружностей равны 10 см и 15 см. Расстояние между их центрами равно 20 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:

А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?

10. Радиусы двух окружностей равны 6 см и 8 см. Расстояние между их центрами равно 14 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:

А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?

11. Радиусы двух окружностей равны 10 см и 20 см. Расстояние между их центрами равно 10 см. Как эти окружности располагаются относительно друг друга:

А. Не имеют общих точек. В. Пересекаются. С. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом?

12. Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внешним образом:

А. $O_1 O_2 < R_1+R_2$. B. $O_1 O_2 = R_1+R_2$. C. $O_1 O_2 > R_1+R_2$. D. $O_1 O_2 = |R_1-R_2|$?

13. Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$ соответственно, касающихся внутренним образом:

А. $O_1 O_2 = |R_1-R_2|$. B. $O_1 O_2 > |R_1-R_2|$. C. $O_1 O_2 < |R_1-R_2|$. D. $O_1 O_2 = R_1+R_2$?

14. Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся как 2:3. Найдите их диаметры, если ширина соответствующего кольца равна 5 см:

А. 2 см и 3 см. В. 15 см и 20 см. С. 10 см и 15 см. D. 30 см и 20 см.

15. Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности. Найдите угол между касательными:

А. $30^\circ$. В. $45^\circ$. С. $60^\circ$. D. $120^\circ$.

16. Из данной на окружности точки проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу окружности. Найдите угол между ними:

А. $30^\circ$. В. $45^\circ$. С. $90^\circ$. D. $120^\circ$.

17. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус данной окружности:

А. 10 см. В. 20 см. С. 30 см. D. 40 см.

18. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 30 см. Найдите радиус этой окружности:

А. 30 см. В. 40 см. С. 50 см. D. 80 см.

19. Касательные, проведенные из данной точки к окружности радиуса 8 см, образуют между собой прямой угол. Найдите отрезки этих касательных (заключенные между данной точкой и точками касания):

А. 4 см. В. 8 см. С. 12 см. D. 16 см.

20. Касательные, проведенные из данной точки к окружности, образуют между собой угол в $60^\circ$. Расстояние от данной точки до центра окружности равно 24 см. Найдите радиус окружности:

А. 6 см. В. 8 см. С. 12 см. D. 24 см.

1. С центром в одной и той же точке можно провести бесконечное множество окружностей, каждая из которых будет иметь свой уникальный положительный радиус $R$.
Ответ: D. Бесконечно много

2. Через одну заданную точку можно провести бесконечное множество окружностей. Их центры могут находиться в любой точке плоскости, за исключением самой заданной точки, а радиус будет равен расстоянию от центра до этой точки.
Ответ: D. Бесконечно много

3. Множество центров окружностей, проходящих через две заданные точки $A$ и $B$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Так как серединный перпендикуляр является прямой линией, он содержит бесконечное число точек, каждая из которых может быть центром такой окружности.
Ответ: D. Бесконечно много

4. Точка $M$ лежит вне круга с центром $O$ и радиусом $R$, если расстояние от центра до этой точки, $OM$, строго больше радиуса $R$.
Ответ: B. $OM > R$

5. Точка $K$ лежит внутри круга с центром $O$ и радиусом $R$, если расстояние от центра до этой точки, $OK$, строго меньше радиуса $R$.
Ответ: A. $OK < R$

6. Диаметр окружности $d=10$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 5$ см. Расстояние от центра до прямой $h=3$ см. Так как расстояние до прямой меньше радиуса ($h < R$, то есть $3 < 5$), прямая пересекает окружность в двух точках.
Ответ: B. Пересекает.

7. Диаметр окружности $d=8$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 4$ см. Расстояние от центра до прямой $h=4$ см. Так как расстояние до прямой равно радиусу ($h = R$), прямая касается окружности в одной точке.
Ответ: C. Касается.

8. Диаметр окружности $d=6$ см, следовательно, радиус $R = d/2 = 3$ см. Расстояние от центра до прямой $h=5$ см. Так как расстояние до прямой больше радиуса ($h > R$, то есть $5 > 3$), прямая не имеет общих точек с окружностью.
Ответ: A. Не имеет с окружностью ни одной общей точки.

9. Даны радиусы $R_1 = 10$ см, $R_2 = 15$ см и расстояние между центрами $d = 20$ см. Сравним $d$ с суммой и разностью радиусов:Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 10 + 15 = 25$ см.Разность радиусов: $|R_2 - R_1| = |15 - 10| = 5$ см.Поскольку выполняется неравенство $|R_2 - R_1| < d < R_1 + R_2$ ($5 < 20 < 25$), окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: B. Пересекаются.

10. Даны радиусы $R_1 = 6$ см, $R_2 = 8$ см и расстояние между центрами $d = 14$ см.Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 6 + 8 = 14$ см.Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются внешним образом.
Ответ: D. Касаются внешним образом.

11. Даны радиусы $R_1 = 10$ см, $R_2 = 20$ см и расстояние между центрами $d = 10$ см.Разность радиусов: $|R_2 - R_1| = |20 - 10| = 10$ см.Так как расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |R_2 - R_1|$), окружности касаются внутренним образом.
Ответ: C. Касаются внутренним образом.

12. Для двух окружностей, касающихся внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов $R_1$ и $R_2$.
Ответ: B. $O_1O_2 = R_1+R_2$.

13. Для двух окружностей, касающихся внутренним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно модулю разности их радиусов $R_1$ и $R_2$.
Ответ: A. $O_1O_2 = |R_1-R_2|$.

14. Пусть радиусы концентрических окружностей $R_1$ и $R_2$ ($R_2>R_1$). По условию, $R_1/R_2 = 2/3$, или $R_1 = 2x$, $R_2 = 3x$. Ширина кольца — это разность радиусов: $R_2 - R_1 = 5$ см. Подставим выражения для радиусов: $3x - 2x = 5$, откуда $x=5$. Тогда радиусы равны $R_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см и $R_2 = 3 \cdot 5 = 15$ см. Соответствующие диаметры: $D_1 = 2R_1 = 20$ см и $D_2 = 2R_2 = 30$ см.
Ответ: D. 30 см и 20 см.

15. Пусть $P$ — точка вне окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Кратчайшее расстояние от $P$ до окружности равно $PO - R$. По условию, $PO - R = R$, откуда $PO = 2R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAP$ (где $A$ — точка касания). В нем гипотенуза $PO = 2R$ и катет $OA = R$. Тогда $\sin(\angle OPA) = OA/PO = R/(2R) = 1/2$, откуда $\angle OPA = 30^\circ$. Угол между касательными в два раза больше, так как $PO$ — биссектриса: $\angle APB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: C. 60°.

16. Пусть $A$ — точка на окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Проведены хорды $AB=R$ и $AC=R$. Треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ — равносторонние, так как все их стороны равны $R$. Следовательно, центральные углы $\angle AOB = 60^\circ$ и $\angle AOC = 60^\circ$. Для того чтобы хорды были различными, точки $B$ и $C$ должны быть разными, а центр $O$ должен лежать между лучами $AB$ и $AC$. Рассмотрим $\triangle ABC$. В нем $AB=AC=R$. Найдем угол $\angle BAC$. Используем теорему косинусов. Сначала найдем $BC$ из $\triangle BOC$. В нем $OB=OC=R$, а $\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 60^\circ+60^\circ=120^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle BOC$: $BC^2 = R^2+R^2-2R^2\cos(120^\circ) = 2R^2-2R^2(-1/2)=3R^2$. Теперь по теореме косинусов для $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2+AC^2-2(AB)(AC)\cos(\angle BAC)$. $3R^2=R^2+R^2-2R^2\cos(\angle BAC)$, откуда $R^2 = -2R^2\cos(\angle BAC)$, то есть $\cos(\angle BAC)=-1/2$. Следовательно, $\angle BAC = 120^\circ$.

Ответ: D. 120°.

17. Пусть $P$ — точка вне окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Наибольшее расстояние $d_{max} = PO + R$, а наименьшее $d_{min} = PO - R$. Дано: $PO+R=50$ и $PO-R=30$. Складывая эти два уравнения, получаем $2 \cdot PO = 80$, т.е. $PO=40$ см. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2R = 20$, т.е. $R=10$ см.
Ответ: A. 10 см.

18. Пусть $P$ — точка внутри окружности, $O$ — центр, $R$ — радиус. Наибольшее расстояние $d_{max} = R + PO$, а наименьшее $d_{min} = R - PO$. Дано: $R+PO=50$ и $R-PO=30$. Складывая эти два уравнения, получаем $2R = 80$, т.е. $R=40$ см.
Ответ: B. 40 см.

19. Пусть $P$ — точка, из которой проведены касательные, $O$ — центр, $A$ и $B$ — точки касания. $R=OA=OB=8$ см. Угол между касательными $\angle APB = 90^\circ$. В четырехугольнике $OAPB$ углы $\angle OAP$ и $\angle OBP$ прямые, так как радиусы перпендикулярны касательным в точках касания. Сумма углов четырехугольника $360^\circ$, значит $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Четырехугольник с четырьмя прямыми углами — прямоугольник. Так как у него смежные стороны $OA$ и $OB$ равны (оба радиусы), то это квадрат. Длина отрезка касательной $PA$ равна стороне квадрата, то есть $PA=OA=R=8$ см.

Ответ: B. 8 см.

20. Пусть $P$ — точка, $O$ — центр, $A$ — точка касания. Расстояние $PO=24$ см. Угол между касательными $60^\circ$. Линия $PO$ является биссектрисой угла между касательными, поэтому $\angle OPA = 60^\circ/2 = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAP$ (с прямым углом $\angle OAP$), катет $OA$ (радиус $R$) лежит напротив угла $30^\circ$. Следовательно, он равен половине гипотенузы $PO$. $R = OA = PO/2 = 24/2 = 12$ см.

Ответ: C. 12 см.