Номер 23.12, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.12. Используя рисунок 23.13, постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне этой окружности.

$O$, $A$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$

Рис. 23.13

Для построения касательной к данной окружности, проходящей через данную точку вне этой окружности, необходимо выполнить следующую последовательность действий (алгоритм построения). На рисунке показан результат построения.

Построение
1. Соединить данную точку $A$ с центром окружности $O$, получив отрезок $OA$.
2. Найти середину отрезка $OA$. Обозначим эту точку $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к отрезку $OA$.
3. Построить вспомогательную окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным длине отрезка $MO$ (или $MA$). На рисунке из условия эта окружность показана пунктиром.
4. Найти точки пересечения $B_1$ и $B_2$ исходной и вспомогательной окружностей.
5. Провести прямые $AB_1$ и $AB_2$. Эти прямые и являются искомыми касательными.

Доказательство
Рассмотрим треугольник $ΔOB_1A$. Точка $B_1$ лежит на вспомогательной окружности, для которой отрезок $OA$ является диаметром. По свойству угла, вписанного в окружность и опирающегося на диаметр, угол $∠OB_1A$ является прямым, то есть $∠OB_1A = 90°$.
Это означает, что прямая $AB_1$ перпендикулярна радиусу $OB_1$ исходной окружности, проведенному в точку $B_1$. По признаку касательной, прямая, проходящая через точку на окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной к этой окружности.
Следовательно, прямая $AB_1$ — касательная. Аналогично доказывается, что и прямая $AB_2$ также является касательной к данной окружности.

Исследование
Так как по условию точка $A$ лежит вне окружности, расстояние от нее до центра $O$ больше радиуса исходной окружности. В этом случае вспомогательная окружность на диаметре $OA$ всегда пересекает исходную окружность в двух различных точках. Следовательно, задача всегда имеет два решения — из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: искомые касательные строятся по приведенному выше алгоритму; это прямые $AB_1$ и $AB_2$, где $B_1$ и $B_2$ — точки пересечения исходной окружности и вспомогательной окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре.