Номер 23.6, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

прилегающий к ней углам.

23.6. Постройте угол, равный данному углу.

Для построения угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнить следующую последовательность действий.

Пусть нам дан произвольный угол $ \angle AOB $ с вершиной в точке $O$.

Построение

1. С помощью линейки проведём произвольный луч $O'M$. Точка $O'$ будет вершиной нового угла, а луч $O'M$ — одной из его сторон.

2. Установим ножку циркуля в вершину $O$ данного угла и проведём дугу произвольного радиуса $r$. Эта дуга пересечёт стороны угла $OA$ и $OB$ в точках $C$ и $D$ соответственно.

3. Не меняя раствор циркуля (сохраняя радиус $r$), перенесём ножку в точку $O'$ и проведём такую же дугу. Она пересечёт луч $O'M$ в точке $D'$.

4. Циркулем измерим расстояние между точками $C$ и $D$. Для этого установим ножку циркуля в одну из точек (например, $D$), а грифель — в другую ($C$). Таким образом, раствор циркуля станет равным длине отрезка (хорды) $CD$.

5. Сохраняя этот раствор, установим ножку циркуля в точку $D'$ на луче $O'M$ и проведём новую дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 3. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $C'$.

6. С помощью линейки соединим точки $O'$ и $C'$ и проведём луч $O'C'$.

Полученный угол $\angle C'O'D'$ (или $\angle C'O'M$) является искомым углом, равным данному углу $\angle AOB$.

На рисунке ниже показаны все вспомогательные построения. Слева — исходный угол с построениями на нем, справа — результат построения нового угла.

Доказательство

Для доказательства корректности построения рассмотрим треугольники $ \triangle COD $ и $ \triangle C'O'D' $.

1. По построению, отрезки $OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же дуги с центром в точке $O$. Следовательно, $OC = OD = r$.

2. Аналогично, отрезки $O'C'$ и $O'D'$ являются радиусами дуги того же радиуса $r$ с центром в точке $O'$. Следовательно, $O'C' = O'D' = r$.

3. Из первых двух пунктов следует, что $OC = OD = O'C' = O'D'$.

4. Отрезок $C'D'$ был построен с помощью циркуля, раствор которого был установлен равным длине отрезка $CD$. Таким образом, по построению $CD = C'D'$.

Мы имеем два треугольника, $ \triangle COD $ и $ \triangle C'O'D' $, у которых все три стороны соответственно равны ($OC=O'C'$, $OD=O'D'$, $CD=C'D'$). По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), эти треугольники равны: $ \triangle COD \cong \triangle C'O'D' $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол при вершине $O$ в первом треугольнике равен углу при вершине $O'$ во втором: $\angle COD = \angle C'O'D'$.

Поскольку $\angle COD$ совпадает с исходным углом $\angle AOB$, а $\angle C'O'D'$ — это построенный угол, то задача решена верно.

Ответ: Алгоритм построения позволяет получить угол, равный данному, с использованием только циркуля и линейки. Построенный угол $\angle C'O'D'$ равен данному углу $\angle AOB$.