Номер 23.7, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.7. По данному рисунку 23.8 объясните, как построить треугольник ABC по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $CD = m$.

Рис. 23.8

Для построения треугольника $ABC$ по заданным сторонам $AC = b$, $AB = c$ и медиане $CD = m$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на анализе задачи и построении вспомогательного треугольника.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. В этом треугольнике нам даны длины сторон $AC = b$, $AB = c$ и медианы $CD = m$. По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что отрезок $AD$ равен половине длины стороны $AB$, то есть $AD = \frac{c}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике нам известны длины всех трех его сторон: $AC = b$ (по условию), $CD = m$ (по условию) и $AD = \frac{c}{2}$ (как половина стороны $AB$). Поскольку треугольник можно однозначно построить по трем сторонам, мы можем сначала построить треугольник $ADC$, а затем, зная положение точек $A$, $D$ и $C$, найти точку $B$ и завершить построение исходного треугольника $ABC$.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки разделим данный отрезок $c$ пополам. Для этого можно построить его серединный перпендикуляр. В результате получим отрезок длиной $\frac{c}{2}$.

2. Построим треугольник $ADC$ по трем известным сторонам ($b$, $m$, и $\frac{c}{2}$). Для этого проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AD$ длиной $\frac{c}{2}$. Затем из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $b$, а из точки $D$ как из центра — дугу окружности радиусом $m$. Точка пересечения этих дуг и будет третьей вершиной треугольника, точкой $C$. Соединим точки $A$, $D$ и $C$ отрезками.

3. Завершим построение искомого треугольника $ABC$. Продлим отрезок $AD$ за точку $D$ и отложим на этом луче отрезок $DB$, равный по длине отрезку $AD$ (то есть $\frac{c}{2}$). Таким образом, мы получим отрезок $AB = AD + DB = \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = c$.

4. Соединим точку $B$ с точкой $C$.

Построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $b$ (по построению, как радиус дуги с центром в $A$), а медиана $CD$ равна $m$ (как радиус дуги с центром в $D$). Сторона $AB$ по построению равна $c$, так как $AB = AD + DB = \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = c$. Поскольку точка $D$ является серединой отрезка $AB$, отрезок $CD$ действительно является медианой треугольника $ABC$. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение в том и только в том случае, если возможно построить вспомогательный треугольник $ADC$. Для этого необходимо, чтобы длины его сторон ($b$, $m$ и $\frac{c}{2}$) удовлетворяли неравенству треугольника, то есть сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны:

$b + m > \frac{c}{2}$

$b + \frac{c}{2} > m$

$m + \frac{c}{2} > b$

Если эти условия выполняются, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности, так как вершину $C$ можно построить по любую из двух сторон от прямой $AB$, что дает два симметричных треугольника).

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится на основе вспомогательного треугольника $ADC$, у которого стороны равны $AC=b$, $CD=m$ и $AD=\frac{c}{2}$. После построения $\triangle ADC$, на продолжении луча $AD$ откладывается отрезок $DB=AD$, и точка $B$ соединяется с $C$.