Номер 23.2, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.2. Постройте середину заданного отрезка.

Дано:

Задан произвольный отрезок AB.

Построение:

Для построения середины отрезка AB с помощью циркуля и линейки без делений выполним следующие шаги:
1. Установим раствор циркуля на радиус $R$, который заведомо больше половины длины отрезка AB. Для надежности можно взять радиус, равный длине всего отрезка AB.
2. Из точки A как из центра проведем дугу окружности радиусом $R$.
3. Не меняя раствора циркуля, из точки B как из центра проведем вторую дугу окружности тем же радиусом $R$.
4. Две построенные дуги пересекутся в двух точках. Обозначим их C и D.
5. С помощью линейки проведем прямую через точки C и D.
6. Точка пересечения прямой CD и отрезка AB является искомой серединой отрезка. Обозначим эту точку M.

Доказательство:

Соединим точки A, B, C и D, чтобы рассмотреть образовавшиеся треугольники.
Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$.
По построению, $AC = R$ и $BC = R$ как радиусы окружностей с одинаковым радиусом $R$.
Также по построению, $AD = R$ и $BD = R$ по той же причине.
Следовательно, $AC = BC = AD = BD$.
Сторона CD является общей для обоих треугольников.
Таким образом, $\triangle ACD = \triangle BCD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ACM = \angle BCM$.
Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$.
1. $AC = BC$ (по построению).
2. Сторона CM является общей.
3. $\angle ACM = \angle BCM$ (доказано выше).
Следовательно, $\triangle ACM = \triangle BCM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$ равны, то равны и их соответствующие стороны: $AM = BM$.
Это по определению означает, что точка M является серединой отрезка AB.
Дополнительно заметим, что из равенства $\triangle ACM = \triangle BCM$ следует и равенство углов $\angle AMC = \angle BMC$. Поскольку эти углы смежные и их сумма равна $180^\circ$, то каждый из них равен $90^\circ$. Это доказывает, что прямая CD является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: Точка M, построенная как точка пересечения прямой CD с отрезком AB, является искомой серединой отрезка.