Задания, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно проведите доказательство и исследование.

Самостоятельно проведите доказательство и исследование.

Самостоятельно проведите доказательство и исследование.

$a$

$b$

$c$

$C$ $b$ $a$ $A$ $c$ $B$

Рис. 23.7

Доказательство
Это задача на доказательство и исследование теоремы о неравенстве треугольника.
Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Дано: $\triangle ABC$. Его стороны $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.
Доказать: $a < b + c$, $b < a + c$, $c < a + b$.
Доказательство:
Докажем одно из неравенств, например, $a < b + c$. Остальные доказываются аналогично.
1. На луче, продолжающем сторону $AB$ за вершину $A$, отложим отрезок $AD$, равный стороне $AC$. Таким образом, $AD = b$.
2. Соединим точки $C$ и $D$. В получившемся треугольнике $\triangle ADC$ стороны $AC$ и $AD$ равны ($AC = AD = b$), следовательно, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ADC = \angle ACD$.
3. Угол $\angle BCD$ является суммой углов $\angle BCA$ и $\angle ACD$, поэтому $\angle BCD > \angle ACD$.
4. Поскольку $\angle ACD = \angle ADC$, мы можем заменить $\angle ACD$ в предыдущем неравенстве и получить: $\angle BCD > \angle ADC$. Угол $\angle ADC$ — это тот же угол, что и $\angle BDC$.
5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle BCD > \angle BDC$, то сторона $BD$, лежащая против $\angle BCD$, больше стороны $BC$, лежащей против $\angle BDC$. То есть, $BD > BC$.
6. Длина отрезка $BD$ равна сумме длин отрезков $BA$ и $AD$: $BD = BA + AD = c + b$. Сторона $BC$ по условию равна $a$.
7. Подставляя эти значения в неравенство из пункта 5, получаем: $c + b > a$, или $a < b + c$.
Неравенство доказано. Аналогичным образом, откладывая отрезки на продолжениях других сторон, можно доказать и два других неравенства: $b < a + c$ и $c < a + b$.
Ответ: Доказано, что для существования треугольника со сторонами $a, b, c$ необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Исследование
Исследуем, при каких условиях возможно построить треугольник по трем заданным сторонам $a, b, c$ с помощью циркуля и линейки, как показано на рисунке.
Анализ и построение:
1. Выберем одну из сторон, например $c$, и построим отрезок $AB$ длиной $c$.
2. Третья вершина $C$ должна находиться одновременно на расстоянии $b$ от точки $A$ и на расстоянии $a$ от точки $B$.
3. Геометрическое место точек, удаленных от точки $A$ на расстояние $b$, — это окружность с центром в $A$ и радиусом $b$.
4. Геометрическое место точек, удаленных от точки $B$ на расстояние $a$, — это окружность с центром в $B$ и радиусом $a$.
5. Следовательно, вершина $C$ является точкой пересечения этих двух окружностей (или дуг, как на рисунке).
Условия существования решения:
Задача построения имеет решение тогда и только тогда, когда эти две окружности пересекаются. Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух окружностей с центрами в точках $A$ и $B$ (расстояние между которыми равно $c$) и радиусами $b$ и $a$:
1. Окружности пересекаются в двух точках. Это возможно только в том случае, когда расстояние между центрами $c$ меньше суммы радиусов $a+b$ и больше модуля их разности $|a-b|$. Это условие $|a-b| < c < a+b$ полностью эквивалентно системе неравенств треугольника: $a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$. В этом случае существуют две возможные точки для вершины $C$, симметричные относительно прямой $AB$. Получающиеся треугольники равны, поэтому решение задачи по сути единственно.
2. Окружности касаются. Это происходит, когда $c = a+b$ (внешнее касание) или $c = |a-b|$ (внутреннее касание). В этом случае точка касания $C$ лежит на прямой $AB$. Треугольник вырождается в отрезок.
3. Окружности не пересекаются. Это происходит, когда $c > a+b$ (окружности находятся слишком далеко друг от друга) или $c < |a-b|$ (одна окружность находится внутри другой, не касаясь ее). В этих случаях точка $C$ не существует, и построить треугольник невозможно.
Вывод: Построение невырожденного треугольника со сторонами $a, b, c$ возможно тогда и только тогда, когда длины этих сторон удовлетворяют строгому неравенству треугольника: каждая сторона должна быть строго меньше суммы двух других.
Ответ: Треугольник со сторонами $a, b, c$ можно построить в том и только в том случае, если выполняются три неравенства: $a+b>c$, $a+c>b$ и $b+c>a$. Если эти условия соблюдены, задача имеет единственное решение (с точностью до равенства треугольников).