Номер 22.16, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

22.16. Изобразите отрезок $AB$. С центром в точке $A$ и радиусом $AB$ проведите окружность. С центром в точке $B$ и радиусом $BA$ проведите окружность. Через точки пересечения этих окружностей проведите прямую. Что можно сказать об этой прямой?

Выполним построение согласно условию задачи.
1. Изобразим произвольный отрезок $AB$.
2. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.
3. Построим вторую окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $BA$.
4. Обозначим точки пересечения этих двух окружностей буквами $C$ и $D$.
5. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.
В результате получим следующий чертеж:

Теперь проанализируем свойства полученной прямой $CD$.
Пусть длина отрезка $AB$ равна $R$. Тогда радиусы обеих окружностей также равны $R$.
Рассмотрим точку пересечения $C$. Поскольку она лежит на первой окружности (с центром $A$), расстояние $AC$ равно ее радиусу, то есть $AC = R$. Поскольку точка $C$ также лежит и на второй окружности (с центром $B$), расстояние $BC$ равно ее радиусу, то есть $BC = R$.
Таким образом, в треугольнике $ΔACB$ все стороны равны: $AC = BC = AB = R$. Это означает, что треугольник $ΔACB$ является равносторонним.
Аналогичные рассуждения применимы и к точке пересечения $D$. Расстояния $AD$ и $BD$ равны радиусам соответствующих окружностей, то есть $AD = R$ и $BD = R$. Следовательно, треугольник $ΔADB$ также является равносторонним.
Четырехугольник $ACBD$ имеет четыре равные стороны ($AC = CB = BD = DA = R$), а значит, является ромбом.
Прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, и отрезок $AB$ являются диагоналями этого ромба.
Согласно основному свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
Отсюда следует, что прямая $CD$ перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. Такая прямая по определению называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Ответ: Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Она перпендикулярна отрезку $AB$ и делит его пополам.