Номер 22.11, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.11. Какой вид имеет треугольник, если его центры вписанной и описанной окружностей совпадают?

22.12. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник,

Чтобы определить вид треугольника, вспомним определения центров вписанной и описанной окружностей.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

По условию задачи, эти два центра совпадают. Пусть треугольник называется $ABC$, а общая точка центров — $O$.

Если точка $O$ является одновременно инцентром и циркумцентром, это означает, что для каждой вершины треугольника биссектриса угла совпадает с серединным перпендикуляром к противолежащей стороне.

Рассмотрим вершину $A$. Биссектриса угла $A$ проходит через точку $O$. Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ также проходит через точку $O$. Следовательно, биссектриса угла $A$ и серединный перпендикуляр к стороне $BC$ лежат на одной прямой.

Вспомним свойство треугольника: если биссектриса угла является также высотой и медианой, то треугольник является равнобедренным. Серединный перпендикуляр, проведенный из вершины, является одновременно и высотой, и медианой.

Таким образом, для треугольника $ABC$ биссектриса из вершины $A$ является также высотой и медианой к стороне $BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, и $AB = AC$.

Применяя те же рассуждения к вершине $B$, мы получаем, что биссектриса угла $B$ совпадает с серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Отсюда следует, что $BA = BC$.

Сопоставив оба результата, мы имеем систему равенств:$AB = AC$$AB = BC$

Из этой системы следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = BC = AC$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним (или правильным).

Ответ: треугольник является равносторонним.