Номер 22.9, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.9. Какой вид имеет треугольник, если центр описанной около него окружности принадлежит одной из его медиан?

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем медиану $AM$ к стороне $BC$. Пусть $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. По условию задачи, точка $O$ принадлежит медиане $AM$.

Центр описанной окружности $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника: $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Рассмотрим отрезки $OB$ и $OC$. Так как $OB = OC$, треугольник $BOC$ является равнобедренным. Точка $O$ равноудалена от точек $B$ и $C$, следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.

Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ — это прямая, которая проходит через середину $M$ стороны $BC$ и перпендикулярна ей.

Таким образом, мы имеем два утверждения:

1. Точка $O$ лежит на медиане $AM$ (по условию).
2. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$ (по свойству центра описанной окружности).

И медиана $AM$, и серединный перпендикуляр к $BC$ проходят через точку $M$ (середину $BC$). Следовательно, возможны два случая.

Случай 1: Медиана $AM$ и серединный перпендикуляр к стороне $BC$ совпадают.

Если прямая, содержащая медиану $AM$, совпадает с серединным перпендикуляром к стороне $BC$, это означает, что медиана $AM$ является также и высотой треугольника $ABC$ (так как $AM \perp BC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$:

• $BM = CM$, так как $AM$ — медиана.
• $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$, так как $AM$ — высота.
• $AM$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ по двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = AC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Случай 2: Медиана $AM$ и серединный перпендикуляр к стороне $BC$ — это две различные прямые.

Две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке. Мы знаем, что и медиана $AM$, и серединный перпендикуляр к $BC$ проходят через точку $M$. Также мы установили, что точка $O$ должна лежать на обеих этих прямых. Если прямые различны, их единственной общей точкой является $M$. Следовательно, точка $O$ должна совпадать с точкой $M$.

$O = M$

Это означает, что центр описанной окружности $O$ является серединой стороны $BC$. Такое возможно только в том случае, если сторона $BC$ является диаметром описанной окружности.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Угол $\angle BAC$ опирается на диаметр $BC$. Следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Итак, если центр описанной окружности лежит на одной из медиан, то треугольник является либо равнобедренным (причем медиана проведена к основанию), либо прямоугольным (причем медиана проведена к гипотенузе).

Ответ: Треугольник является равнобедренным или прямоугольным.