Номер 22.8, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.8. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, принадлежит биссектрисе угла, противолежащего основанию этого треугольника.

Чтобы доказать, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на биссектрисе угла, противолежащего основанию, рассмотрим равнобедренный треугольник и его описанную окружность.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$, так что боковые стороны равны: $AB = BC$.
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около $\triangle ABC$.

По определению, центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Следовательно, расстояния от точки $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны радиусу $R$ этой окружности:
$OA = OB = OC = R$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCB$.
У них:
1. $AB = BC$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).
2. $OA = OC$ (как радиусы одной и той же окружности).
3. $OB$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle OAB = \triangle OCB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle ABO$ равен углу $\angle CBO$:
$\angle ABO = \angle CBO$

Это означает, что луч $BO$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой.
Поскольку точка $O$ (центр окружности) лежит на луче $BO$, то она принадлежит биссектрисе угла $\angle ABC$, который является углом, противолежащим основанию $AC$.

Альтернативное доказательство:
Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ с основанием $AC$ биссектриса, проведенная из вершины $B$ к основанию, является также медианой и высотой. Таким образом, эта биссектриса перпендикулярна стороне $AC$ и проходит через ее середину, то есть она лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Поскольку центр описанной окружности $O$ должен лежать на всех серединных перпендикулярах, он обязан лежать и на биссектрисе угла $\angle B$.

Ответ: Что и требовалось доказать.