Номер 22.10, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.10. Какой вид имеет треугольник, если центр вписанной в него окружности принадлежит одной из его высот?

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим центр вписанной в него окружности как $I$. Пусть $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. По определению высоты, $BH \perp AC$.

По условию задачи, центр вписанной окружности $I$ принадлежит высоте $BH$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе каждого угла треугольника, в том числе и на биссектрисе угла $\angle B$.

Таким образом, мы имеем, что точка $I$ лежит как на высоте $BH$, так и на биссектрисе, проведенной из вершины $B$. Поскольку и высота, и биссектриса являются отрезками прямых, проходящих через две общие точки (вершину $B$ и инцентр $I$), то эти отрезки должны совпадать. Это означает, что в треугольнике $ABC$ высота $BH$ является одновременно и биссектрисой угла $\angle B$.

Докажем, что треугольник, в котором высота совпадает с биссектрисой, является равнобедренным. Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, на которые высота $BH$ делит треугольник $ABC$.

В этих треугольниках:
1. Сторона $BH$ — общая.
2. $\angle AHB = \angle CHB = 90^\circ$, так как $BH$ — высота.
3. $\angle ABH = \angle CBH$, так как $BH$ — биссектриса.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по катету и прилежащему острому углу (общий катет $BH$ и равные углы $\angle ABH$ и $\angle CBH$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Таким образом, если центр вписанной в треугольник окружности лежит на одной из его высот, то этот треугольник является равнобедренным.

Ответ: Треугольник является равнобедренным.