Номер 22.3, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.3. Для данных треугольников (рис. 22.6) постройте центры описанных окружностей.

а)

б)

в)

Рис. 22.6

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Для нахождения центра описанной окружности достаточно построить два любых серединных перпендикуляра и найти их точку пересечения.

а)

Данный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как его стороны $AC$ и $BC$ перпендикулярны (наклоны их равны $1$ и $-1$ соответственно, если поместить треугольник в систему координат). Угол $C$ прямой ($90^\circ$). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится на середине его гипотенузы.

Для построения построим серединный перпендикуляр к гипотенузе $AB$. Так как $AB$ — горизонтальный отрезок длиной 4 клетки, его середина находится посредине, а перпендикуляр к нему — вертикальная прямая. Построим также серединный перпендикуляр к катету $BC$. Точка их пересечения $O$ и будет искомым центром. Как видно из рисунка, точка $O$ совпадает с серединой гипотенузы $AB$.

Ответ: Центр описанной окружности (точка O) является серединой стороны AB.

б)

Данный треугольник $ABC$ является остроугольным и равнобедренным, так как стороны $AC$ и $BC$ равны. Центр описанной окружности остроугольного треугольника всегда находится внутри треугольника.

Поскольку треугольник равнобедренный, его ось симметрии (проходящая через вершину $C$ и середину основания $AB$) является серединным перпендикуляром к стороне $AB$. Искомый центр лежит на этой прямой. Построим серединный перпендикуляр к другой стороне, например $AC$. Для этого найдем середину отрезка $AC$ и проведем через нее прямую, перпендикулярную $AC$. Точка пересечения $O$ этих двух перпендикуляров является центром описанной окружности.

Ответ: Центр описанной окружности (точка O) расположен внутри треугольника на его оси симметрии.

в)

Данный треугольник $ABC$ является тупоугольным (угол $C$ больше $90^\circ$). Центр описанной окружности тупоугольного треугольника всегда находится вне треугольника.

Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Так как $AB$ — горизонтальный отрезок длиной 5 клеток, его середина находится на расстоянии 2.5 клетки от вершины $A$, а перпендикуляр является вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Затем построим серединный перпендикуляр к стороне $AC$. Точка их пересечения $O$ находится вне треугольника и является искомым центром.

Ответ: Центр описанной окружности (точка O) расположен вне треугольника.