Номер 21.17, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.17. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса $R$, касающихся данной окружности радиуса $R_1$ ($R \ne R_1$).

Пусть дана окружность $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$. Мы ищем геометрическое место центров $O$ всех окружностей $\omega$ радиуса $R$, которые касаются окружности $\omega_1$. Касание двух окружностей может быть двух видов: внешнее и внутреннее.

Внешнее касание

Если окружность $\omega$ касается окружности $\omega_1$ внешним образом, то расстояние между их центрами $O$ и $O_1$ равно сумме их радиусов.
$d(O, O_1) = R + R_1$
Так как $R$ и $R_1$ — заданные постоянные величины, их сумма $R + R_1$ также является постоянной. По определению, геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки ($O_1$), есть окружность. Следовательно, в этом случае искомое множество центров $O$ — это окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_{внешн} = R + R_1$.

Внутреннее касание

Если окружность $\omega$ касается окружности $\omega_1$ внутренним образом, то расстояние между их центрами $O$ и $O_1$ равно модулю разности их радиусов.
$d(O, O_1) = |R_1 - R|$
Поскольку $R$ и $R_1$ — постоянные величины и, по условию задачи, $R \neq R_1$, то $|R_1 - R|$ является постоянным положительным числом. Следовательно, в этом случае искомое множество центров $O$ — это окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_{внутр} = |R_1 - R|$.

Искомое геометрическое место точек является объединением множеств, найденных в обоих случаях. Это две окружности, концентрические с данной (то есть имеющие общий центр $O_1$).

На иллюстрации синим цветом показана данная окружность радиуса $R_1$. Искомое геометрическое место центров (показано красным пунктиром) состоит из двух концентрических окружностей с радиусами $R_1+R$ и $|R_1-R|$.

Ответ: Две окружности, концентрические с данной, с радиусами $R + R_1$ и $|R - R_1|$.