Номер 21.14, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.14. Укажите точки, равноудаленные от трех прямых $a$, $b$, $c$, изображенных на рисунке 21.11.

в) Рис. 21.11

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, — это прямая, параллельная им и проходящая посередине между ними. Точка, равноудаленная от трех прямых, должна лежать на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от каждой пары этих прямых.

а) Прямые a и c параллельны, а прямая b им перпендикулярна. Точки, равноудаленные от прямых a и c, лежат на срединной прямой m, параллельной a и c и находящейся на одинаковом расстоянии от них. Пусть расстояние между a и c равно $2d$. Тогда любая точка на прямой m удалена от a и c на расстояние $d$.

Чтобы точка была равноудалена от всех трех прямых, ее расстояние до прямой b также должно быть равно $d$. Таких точек на прямой m две: они расположены по разные стороны от прямой b на расстоянии $d$ от нее. Эти точки являются центрами двух квадратов, которые образуются пересечением прямых a, c и двух прямых, параллельных прямой b и отстоящих от нее на расстояние $d$.

На рисунке ниже искомые точки отмечены синими кружками.

Ответ: Существуют две такие точки. Они лежат на прямой, параллельной прямым a и c и проходящей посередине между ними. Расстояние от этих точек до прямой b равно половине расстояния между прямыми a и c.

б) В этом случае прямые a и c параллельны, а прямая b их пересекает. Точки, равноудаленные от параллельных прямых a и c, лежат на срединной прямой m. Точки, равноудаленные от пересекающихся прямых a и b, лежат на биссектрисах двух углов, образованных этими прямыми.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения срединной прямой m (для a и c) и биссектрис углов, образованных прямыми a и b. Так как биссектрис две, то и точек будет две. Каждая из этих точек является центром окружности, касающейся всех трех прямых.

На рисунке ниже срединная прямая m и биссектрисы показаны пунктиром, а искомые точки — синими кружками.

Ответ: Существуют две такие точки. Они являются точками пересечения прямой, равноудаленной от a и c, и биссектрис углов, образованных прямыми a и b (или b и c).

в) Три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку, образуют треугольник. Точки, равноудаленные от трех сторон треугольника (или их продолжений), являются центрами вписанной и трех вневписанных окружностей этого треугольника.

• Центр вписанной окружности (инцентр) — точка пересечения биссектрис трех внутренних углов треугольника. Эта точка находится внутри треугольника.
• Центры трех вневписанных окружностей (эксцентры) — точки пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и двух биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Эти точки лежат вне треугольника.

Таким образом, существует всего четыре точки, равноудаленные от трех данных прямых.

На рисунке ниже показан треугольник, образованный прямыми a, b, c, и отмечены четыре искомые точки (одна внутри треугольника и три снаружи).

Ответ: Существуют четыре такие точки: центр вписанной окружности и три центра вневписанных окружностей треугольника, образованного прямыми a, b и c.