Номер 21.7, страница 121 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.7. Отметьте точку, равноудаленную от точек $A$, $B$ и $C$ (рис. 21.7).

в) Рис. 21.7

Для нахождения точки, равноудаленной от трех заданных точек А, В и С, необходимо найти центр окружности, описанной около треугольника АВС. Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

а) Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону клетки сетки, а за начало координат — левый нижний узел сетки. В этой системе точки имеют координаты: A(0, 2), B(3, 1), C(3, 3). Найдем серединный перпендикуляр к стороне BC. Так как отрезок BC вертикален, его серединный перпендикуляр будет горизонтальной прямой. Середина отрезка BC имеет координаты $M_{BC}(\frac{3+3}{2}, \frac{1+3}{2}) = (3, 2)$. Уравнение серединного перпендикуляра к BC: $y = 2$. Найдем серединный перпендикуляр к стороне AB. Середина отрезка AB имеет координаты $M_{AB}(\frac{0+3}{2}, \frac{2+1}{2}) = (1.5, 1.5)$. Угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{1-2}{3-0} = -\frac{1}{3}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = 3$. Уравнение перпендикуляра, проходящего через точку $M_{AB}(1.5, 1.5)$ с угловым коэффициентом 3, имеет вид: $y - 1.5 = 3(x - 1.5)$, что упрощается до $y = 3x - 3$. Для нахождения точки пересечения (обозначим ее O) решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 2 \\ y = 3x - 3 \end{cases} $$ Подставляя $y=2$ во второе уравнение, получаем $2 = 3x - 3$, откуда $3x = 5$ и $x = \frac{5}{3}$. Таким образом, искомая точка O имеет координаты O($\frac{5}{3}, 2$). На рисунке эта точка отмечена синим крестиком.

б) Аналогично, введем систему координат с началом в левом нижнем углу. Координаты точек: A(0, 3), B(2, 1), C(3, 3). Найдем серединный перпендикуляр к стороне AC. Отрезок AC горизонтален. Его середина $M_{AC}(\frac{0+3}{2}, \frac{3+3}{2}) = (1.5, 3)$. Серединный перпендикуляр — вертикальная прямая $x = 1.5$. Найдем серединный перпендикуляр к стороне AB. Середина отрезка AB имеет координаты $M_{AB}(\frac{0+2}{2}, \frac{3+1}{2}) = (1, 2)$. Угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{1-3}{2-0} = -1$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = 1$. Уравнение перпендикуляра: $y - 2 = 1(x - 1)$, что упрощается до $y = x + 1$. Найдем точку пересечения O, решив систему: $$ \begin{cases} x = 1.5 \\ y = x + 1 \end{cases} $$ Подставляя $x=1.5$ во второе уравнение, получаем $y = 1.5 + 1 = 2.5$. Искомая точка O имеет координаты O(1.5, 2.5). На рисунке эта точка отмечена синим крестиком.

в) Снова используем метод серединных перпендикуляров. В системе координат с началом в левом нижнем углу точки имеют координаты: A(0, 1), B(2, 1), C(4, 2). Найдем серединный перпендикуляр к стороне AB. Отрезок AB горизонтален. Его середина $M_{AB}(\frac{0+2}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, 1)$. Серединный перпендикуляр — вертикальная прямая $x = 1$. Найдем серединный перпендикуляр к стороне BC. Середина отрезка BC имеет координаты $M_{BC}(\frac{2+4}{2}, \frac{1+2}{2}) = (3, 1.5)$. Угловой коэффициент прямой BC равен $k_{BC} = \frac{2-1}{4-2} = \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{BC}} = -2$. Уравнение перпендикуляра: $y - 1.5 = -2(x - 3)$, что упрощается до $y = -2x + 7.5$. Найдем точку пересечения O, решив систему: $$ \begin{cases} x = 1 \\ y = -2x + 7.5 \end{cases} $$ Подставляя $x=1$ во второе уравнение, получаем $y = -2(1) + 7.5 = 5.5$. Искомая точка O имеет координаты O(1, 5.5). Эта точка лежит за пределами исходной сетки, что является допустимым результатом. На рисунке сетка продлена вверх для отображения этой точки.