Номер 21.10, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.10. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB (рис. 21.9).

a)

б)

в)

Рис. 21.9

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Следовательно, искомая точка $C$ должна лежать на биссектрисе угла $AOB$. Так как по условию точка $C$ также должна лежать на прямой $c$, то она является точкой пересечения биссектрисы угла $AOB$ и прямой $c$.

а) Угол $AOB$ — прямой, его вершина $O$ находится в начале координат, а стороны $OA$ и $OB$ лежат на осях координат. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по $45^\circ$, ее уравнение $y=x$. Прямая $c$ проходит через точки с координатами $(4,0)$ и $(1,3)$, ее уравнение $y = -x+4$. Точка пересечения $C$ биссектрисы и прямой $c$ имеет координаты, удовлетворяющие обоим уравнениям. Для системы уравнений $y=x$ и $y=-x+4$ решением является точка $C(2,2)$. Построим биссектрису угла $AOB$ (синяя пунктирная линия) и отметим точку ее пересечения с прямой $c$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения биссектрисы угла $AOB$ и прямой $c$. Она расположена в узле сетки с координатами $(2,2)$, если принять точку $O$ за начало координат.

б) Вершина угла $O$ находится в начале координат. Сторона $OA$ проходит через точку $(4,1)$, а сторона $OB$ — через точку $(1,4)$. Угол $AOB$ симметричен относительно прямой $y=x$, так как координаты точек на его сторонах взаимно обратны. Следовательно, биссектрисой угла $AOB$ является прямая $y=x$. Прямая $c$ — это горизонтальная прямая $y=2$. Точка пересечения $C$ биссектрисы $y=x$ и прямой $c$ ($y=2$) имеет координаты $C(2,2)$. Построим биссектрису угла $AOB$ и найдем ее пересечение с прямой $c$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения биссектрисы угла $AOB$ и прямой $c$. Она расположена в узле сетки с координатами $(2,2)$, если принять точку $O$ за начало координат.

в) Вершина угла $O$ находится в начале координат. Сторона $OA$ проходит через точку $(4,2)$, а сторона $OB$ — через точку $(2,4)$. Угловые коэффициенты сторон равны $k_{OA} = 2/4 = 1/2$ и $k_{OB} = 4/2 = 2$. Так как $k_{OB} = 1/k_{OA}$, угол $AOB$ симметричен относительно прямой $y=x$, которая и является его биссектрисой. Прямая $c$ — это горизонтальная прямая $y=3$. Точка пересечения $C$ биссектрисы $y=x$ и прямой $c$ ($y=3$) имеет координаты $C(3,3)$. Построим биссектрису угла $AOB$ и найдем ее пересечение с прямой $c$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения биссектрисы угла $AOB$ и прямой $c$. Она расположена в узле сетки с координатами $(3,3)$, если принять точку $O$ за начало координат.