Номер 21.16, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.16. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса $R$, касающихся данной окружности того же радиуса $R$.

Пусть дана окружность $\omega_1$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Мы ищем геометрическое место центров $P$ всех окружностей $\omega_2$ радиуса $R$, которые касаются окружности $\omega_1$.

Касание двух окружностей может быть двух видов: внешним и внутренним. Рассмотрим оба случая.

Внешнее касание

Если окружность $\omega_2$ касается окружности $\omega_1$ внешним образом, то расстояние между их центрами $O$ и $P$ равно сумме их радиусов. В данном случае оба радиуса равны $R$.

Следовательно, расстояние $OP$ вычисляется как: $OP = R + R = 2R$.

Это означает, что центр $P$ искомой окружности $\omega_2$ всегда находится на постоянном расстоянии $2R$ от фиксированной точки $O$. По определению, геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, есть окружность.

Таким образом, в случае внешнего касания геометрическое место центров $P$ — это окружность с центром в точке $O$ и радиусом $2R$.

Внутреннее касание

Если одна окружность касается другой внутренним образом, то расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

В этом случае расстояние $OP = |R - R| = 0$.

Расстояние между центрами $O$ и $P$ равно нулю тогда и только тогда, когда точки $O$ и $P$ совпадают. Если центры двух окружностей с одинаковыми радиусами совпадают, то и сами окружности совпадают. Совпадающие окружности имеют бесконечно много общих точек, а не одну, как того требует определение касания. Следовательно, этот случай не соответствует условию задачи о касании.

Таким образом, единственно возможный случай — это внешнее касание. Искомое геометрическое место точек является окружностью, концентрической (имеющей общий центр) данной окружности, но с радиусом, в два раза большим.

Ответ: Окружность с тем же центром, что и у данной окружности, и радиусом $2R$.