Номер 21.12, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 21. Геометрические места точек. Глава 4. Окружность. Геометрические построения - номер 21.12, страница 122.

Условие.

21.12. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки $A$ и $B$.

Решение.

Решение 2.

Пусть даны две различные точки A и B. Мы ищем геометрическое место центров всех окружностей, которые проходят через обе эти точки.

Пусть O — центр некоторой окружности, а R — её радиус. Если эта окружность проходит через точки A и B, то по определению окружности, точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от центра O, и это расстояние равно радиусу R.

Следовательно, для центра O любой такой окружности должно выполняться условие: $OA = OB = R$.

Это означает, что любой центр искомой окружности является точкой, равноудаленной от точек A и B.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Докажем, что это и есть искомое геометрическое место точек.

1. Возьмем любую точку O, которая является центром окружности, проходящей через A и B. Как мы показали, для нее выполняется равенство $OA = OB$. Это означает, что точка O равноудалена от концов отрезка AB и, по определению, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

2. Теперь возьмем любую точку M, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, то есть $MA = MB$. Обозначим это расстояние за R'. Мы можем построить окружность с центром в точке M и радиусом R'. Так как расстояния от M до A и от M до B равны R', обе точки A и B лежат на этой окружности. Следовательно, любая точка на серединном перпендикуляре является центром окружности, проходящей через A и B.

Таким образом, мы доказали, что искомое геометрическое место точек в точности совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку AB.

На рисунке показаны две точки A и B. Прямая m — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Точки O₁ и O₂ лежат на этой прямой. Они являются центрами двух из бесконечного множества окружностей, проходящих через точки A и B.

Ответ: Геометрическим местом центров окружностей, проходящих через две данные точки A и B, является серединный перпендикуляр к отрезку AB.