Номер 21.6, страница 121 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.6. Перед вами часть карты острова, на котором когда-то пираты зарыли сокровища (рис. 21.6). К сожалению, на карте не отмечено место, где они спрятаны, но зато сохранились ориентиры (камень на развилке дорог и два дуба), по которым можно определить место. Известно, что сокровища зарыты в месте, одинаково удаленном и от двух дорог, и от дубов. Сможете ли вы отыскать клад?

Рис. 21.6

Да, клад отыскать можно. Для этого нужно использовать свойства геометрических мест точек, удовлетворяющих заданным условиям.

Задача сводится к нахождению точки, которая удовлетворяет двум условиям одновременно:
1. Точка одинаково удалена от двух дорог.
2. Точка одинаково удалена от двух дубов.

Рассмотрим каждое условие по отдельности с точки зрения геометрии. Дороги представляют собой два луча, выходящие из одной точки (развилки), то есть они образуют угол. Дубы — это две точки на плоскости.

Условие 1: Равноудаленность от двух дорог.
Множество всех точек, равноудаленных от двух сторон угла, является его биссектрисой. Следовательно, местоположение клада должно лежать на биссектрисе угла, образованного дорогами.

Условие 2: Равноудаленность от двух дубов.
Множество всех точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае, дубов), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти две точки. Таким образом, клад должен находиться на этом серединном перпендикуляре.

Решение:
Поскольку местоположение клада должно удовлетворять обоим условиям, искомая точка является точкой пересечения двух построенных линий: биссектрисы угла, образованного дорогами, и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему дубы.
Чтобы найти клад, нужно выполнить следующие построения на карте:
1. Построить биссектрису угла, который образуют дороги (на рисунке ниже она показана синей пунктирной линией).
2. Соединить две точки, обозначающие дубы, отрезком (серая пунктирная линия).
3. Построить серединный перпендикуляр к этому отрезку (вторая синяя пунктирная линия).
4. Точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра и будет точным местом, где зарыт клад.

Так как биссектриса и серединный перпендикуляр (если они не совпадают и не параллельны) пересекаются в одной-единственной точке, местоположение клада определяется однозначно.

Ответ: Да, клад отыскать можно. Он находится в точке пересечения биссектрисы угла, образованного дорогами, и серединного перпендикуляра к отрезку, который соединяет два дуба.