Номер 21.2, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.2. На клетчатой бумаге изобразите геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от точек A и B (рис. 21.3).

а)

б)

Рис. 21.3

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Чтобы построить его, мы для каждого случая найдем середину отрезка AB и проведем через нее прямую, перпендикулярную AB.

а) Введем систему координат, в которой левый нижний узел сетки является началом координат $(0,0)$, а сторона клетки равна 1. Тогда точки имеют координаты: $A(1, 4)$ и $B(3, 1)$.

Найдем координаты середины $M$ отрезка AB по формуле $M = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2})$:

$M = (\frac{1+3}{2}; \frac{4+1}{2}) = (2; 2.5)$

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой AB по формуле $k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$:

$k_{AB} = \frac{1-4}{3-1} = -\frac{3}{2}$

Угловой коэффициент $k_{\perp}$ перпендикулярной прямой связан с $k_{AB}$ соотношением $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$. Отсюда:

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-3/2} = \frac{2}{3}$

Искомая прямая проходит через точку $M(2; 2.5)$ и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = \frac{2}{3}$. Это означает, что при смещении на 3 клетки вправо, прямая поднимается на 2 клетки вверх (или на 3 клетки влево и на 2 клетки вниз).

Ответ: Искомое ГМТ — серединный перпендикуляр к отрезку AB, изображенный на рисунке.

б) Используем ту же систему координат. Точки имеют координаты: $A(1, 3)$ и $B(4, 1)$.

Найдем координаты середины $M$ отрезка AB:

$M = (\frac{1+4}{2}; \frac{3+1}{2}) = (2.5; 2)$

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой AB:

$k_{AB} = \frac{1-3}{4-1} = -\frac{2}{3}$

Найдем угловой коэффициент $k_{\perp}$ серединного перпендикуляра:

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$

Искомая прямая проходит через точку $M(2.5; 2)$ и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = \frac{3}{2}$. Это означает, что при смещении на 2 клетки вправо, прямая поднимается на 3 клетки вверх (или на 2 влево и на 3 вниз).

Ответ: Искомое ГМТ — серединный перпендикуляр к отрезку AB, изображенный на рисунке.