Номер 20.19, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

20.19. Изобразите две точки $A$ и $B$. Укажите точки, расстояния от которых до точек $A$ и $B$ равны.

Изобразим на плоскости две произвольные точки А и В.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек А и В, представляет собой прямую. Эта прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку АВ.

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему.

Доказательство:

1. Пусть точка M равноудалена от точек А и В, то есть расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$ ($MA = MB$). Тогда треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным с основанием AB. Проведем медиану $MO$ к основанию AB, где O – середина отрезка AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MO \perp AB$. Это означает, что любая точка M, равноудаленная от А и В, лежит на прямой, которая перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину.

2. Теперь докажем обратное утверждение. Пусть точка N лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку AB. По определению, прямая $m$ проходит через середину O отрезка AB ($AO = BO$) и перпендикулярна ему ($m \perp AB$). Рассмотрим треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BON$. Они являются прямоугольными, так как $NO \perp AB$. У них катет $NO$ – общий, а катеты $AO$ и $BO$ равны, поскольку O – середина отрезка AB. Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), $\triangle AON = \triangle BON$. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $AN = BN$. Таким образом, любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов.

На рисунке выше показаны точки А и В, отрезок AB (изображен пунктиром), его середина O, и серединный перпендикуляр – прямая $m$. Для любой точки M, лежащей на прямой $m$, выполняется равенство расстояний $MA = MB$.

Ответ: Точки, расстояния от которых до точек А и В равны, образуют прямую, которая является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.