Номер 20.15, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.15. Могут ли попарно касаться друг друга четыре окружности одинакового радиуса?

Нет, четыре окружности одинакового радиуса не могут попарно касаться друг друга. Чтобы доказать это, рассмотрим два возможных случая: когда окружности лежат в одной плоскости и когда они расположены в трехмерном пространстве.

Случай 1: Все четыре окружности лежат в одной плоскости.

Пусть у нас есть четыре окружности одинакового радиуса $r$. Обозначим их центры как $O_1, O_2, O_3, O_4$. Условие, что окружности попарно касаются, означает, что каждая окружность касается трех других. Когда две окружности с радиусами $r_1$ и $r_2$ касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно $r_1 + r_2$. В нашем случае все радиусы равны $r$, поэтому расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей составляет $r + r = 2r$.

Следовательно, все расстояния между точками $O_1, O_2, O_3, O_4$ должны быть равны $2r$:$|O_1O_2| = |O_1O_3| = |O_1O_4| = |O_2O_3| = |O_2O_4| = |O_3O_4| = 2r$.

Это означает, что точки $O_1, O_2, O_3, O_4$ должны являться вершинами правильного тетраэдра со стороной $2r$.

Рассмотрим первые три центра $O_1, O_2, O_3$. Они должны образовывать равносторонний треугольник со стороной $2r$. Такой треугольник можно расположить на плоскости. Поместим его в систему координат. Пусть $O_1 = (-r, 0)$, $O_2 = (r, 0)$. Тогда координаты точки $O_3$ можно найти из условия, что она находится на расстоянии $2r$ от $O_1$ и $O_2$. Решая систему уравнений $(x+r)^2+y^2=(2r)^2$ и $(x-r)^2+y^2=(2r)^2$, находим, что $x=0$ и $y=\pm r\sqrt{3}$. Выберем $O_3 = (0, r\sqrt{3})$.

Теперь найдем положение центра четвертой окружности $O_4=(x, y)$. Он должен находиться на расстоянии $2r$ от $O_1, O_2$ и $O_3$. Из условия $|O_1O_4| = |O_2O_4| = 2r$ мы уже знаем, что $x=0$. Таким образом, $O_4$ лежит на оси $y$.Теперь используем условие $|O_3O_4|=2r$:$|O_3O_4|^2 = (0-0)^2 + (y - r\sqrt{3})^2 = (2r)^2$$(y - r\sqrt{3})^2 = 4r^2$$y - r\sqrt{3} = \pm 2r$, откуда $y = r\sqrt{3} \pm 2r$.

Однако точка $O_4=(0, y)$ также должна быть на расстоянии $2r$ от $O_1=(-r, 0)$:$|O_1O_4|^2 = (0 - (-r))^2 + (y-0)^2 = (2r)^2$$r^2 + y^2 = 4r^2$$y^2 = 3r^2$, откуда $y = \pm r\sqrt{3}$.

Мы получили два разных требования для координаты $y$ точки $O_4$: $y = r(\sqrt{3} \pm 2)$ и $y = \pm r\sqrt{3}$. Очевидно, что ни одно из значений не совпадает ($r(\sqrt{3} + 2) \ne \pm r\sqrt{3}$ и $r(\sqrt{3} - 2) \ne \pm r\sqrt{3}$). Это означает, что на плоскости не существует точки, равноудаленной от трех вершин равностороннего треугольника на расстояние, равное стороне этого треугольника. Таким образом, правильный тетраэдр нельзя "уложить" на плоскость.

Следовательно, четыре окружности одинакового радиуса не могут попарно касаться в одной плоскости.

Случай 2: Окружности расположены в трехмерном пространстве.

Рассмотрим более общий случай, когда четыре окружности $C_1, C_2, C_3, C_4$ одинакового радиуса $r$ расположены в пространстве. Каждая окружность $C_i$ лежит в своей плоскости $P_i$ и имеет центр $O_i$.Для того чтобы две окружности $C_i$ и $C_j$ касались, содержащие их сферы $S_i$ и $S_j$ (с центрами $O_i, O_j$ и радиусом $r$) также должны касаться. Точка касания окружностей может быть только в точке касания сфер.

Касание сфер $S_i$ и $S_j$ означает, что расстояние между их центрами равно $r+r=2r$. Таким образом, как и в первом случае, центры $O_1, O_2, O_3, O_4$ должны образовывать правильный тетраэдр со стороной $2r$. В трехмерном пространстве такой тетраэдр существует.

Точка касания двух сфер $S_i$ и $S_j$ — это середина отрезка, соединяющего их центры: $T_{ij} = \frac{O_i+O_j}{2}$. Чтобы окружности $C_i$ и $C_j$ касались в этой точке, точка $T_{ij}$ должна принадлежать обеим окружностям.

Для того чтобы точка $T_{ij}$ принадлежала окружности $C_i$, она должна лежать в плоскости $P_i$, в которой находится эта окружность. (Расстояние от $O_i$ до $T_{ij}$ равно $|\frac{O_j-O_i}{2}| = \frac{2r}{2}=r$, так что точка лежит на сфере $S_i$).

Рассмотрим окружность $C_1$. Она должна касаться окружностей $C_2, C_3, C_4$. Следовательно, ее плоскость $P_1$ должна содержать точки касания $T_{12}, T_{13}, T_{14}$. Плоскость $P_1$ также по определению проходит через центр $O_1$.

Таким образом, плоскость $P_1$ должна содержать четыре точки: $O_1, T_{12}, T_{13}, T_{14}$.Выберем систему координат с началом в точке $O_1$. Тогда $O_1 = (0,0,0)$, а $T_{1j} = \frac{O_1+O_j}{2} = \frac{O_j}{2}$.Значит, плоскость $P_1$ должна содержать начало координат и точки $O_2/2, O_3/2, O_4/2$. Это возможно только в том случае, если векторы $O_2, O_3, O_4$ (с началом в $O_1$) компланарны, то есть лежат в одной плоскости.

Однако точки $O_1, O_2, O_3, O_4$ являются вершинами правильного тетраэдра. Векторы, соединяющие одну вершину с тремя другими (в нашем случае $O_2, O_3, O_4$ с началом в $O_1$), не являются компланарными. Они образуют трехмерный базис. Следовательно, не существует плоскости, которая бы проходила через точки $O_1, O_2, O_3, O_4$. А значит, не существует и плоскости $P_1$, проходящей через $O_1, T_{12}, T_{13}, T_{14}$.

Полученное противоречие показывает, что такое расположение окружностей невозможно и в трехмерном пространстве.

Ответ: Нет, не могут.